Zadanie nr 8227244
Podstawy trapezu mają długości 9 i 12. Oblicz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Sposób I
Zauważmy, że trójkąty i są podobne (maja równe kąty) i skala ich podobieństwa jest równa
Stąd
To pozwala obliczyć jaką cześć przekątnych i stanowią odcinki i .
Z drugiej strony i . Stąd
Trójkąt jest więc podobny do trójkąta w skali 1:8. Stąd
Sposób II
Niech i będą punktami wspólnymi prostej (przechodzącej przez środki przekątnych) i ramion trapezu. Zauważmy, że na mocy twierdzenia Talesa
Punkty i są więc środkami ramion trapezu. W takim razie odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie . Stąd
Podobnie, odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie . Stąd
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że przedłużenie odcinka przecina ramiona trapezu w ich środkach i . Jak wiadomo odcinek ma długość . Odcinki i są odcinkami łączącymi środki boków odpowiednio w trójkątach i . Zatem . Mamy zatem
Odpowiedź: