Zadanie nr 8241579
Na okręgu o danym promieniu opisano trapez równoramienny o dłuższej podstawie i krótszej . Punkt styczności dzieli ramię tak, że .
- Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
- Oblicz cosinus kąta .
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od rysunku.
- Jeżeli oznaczymy i , to z faktu, że odcinki stycznych poprowadzonych z punktu do okręgu są równe, mamy
gdzie i są odpowiednimi punktami styczności okręgu z podstawami trapezu. Jeżeli poprowadzimy wysokość , to mamy
Znamy zatem wszystkie boki trójkąta prostokątnego i możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa.
Zatem ramię ma długość
Odpowiedź: - Żądany cosinus obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie . Zanim jednak to zrobimy, musimy wyliczyć długość przekątnej . Patrzymy na trójkąt prostokątny i mamy
Teraz stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Odpowiedź: