/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 8982359

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie ABCD boki nierównoległe AD i BC zawierają się w prostych prostopadłych. Oblicz pole trapezu, mając dane |AD | = a oraz |∡ABC | = |∡DAC | = α < 90∘ .

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Ponieważ ∡DAB = 90 ∘ − α , mamy

∡CAB = ∡DAB − ∡DAC = 90 ∘ − 2 α.

Na rysunku mamy sporo trójkątów prostokątnych, z których powyliczamy długości wysokości oraz podstaw trapezu.

Sposób I

Z trójkąta AED mamy

h --= sin(90 ∘ − α ) ⇒ h = a cosα a AE-- ∘ a = c os(90 − α) ⇒ AE = asin α.

Teraz patrzymy na trójkąt AF C .

AF--= ctg (90∘ − 2α) ⇒ AF = htg 2α = a cosα tg2α . h

Zatem

CD = AF − AE = a cosα tg2α − a sinα.

Teraz patrzymy na trójkąt F BC .

2 FB- = ctgα ⇒ FB = h ctg α = a cos-α-. h sin α

Zatem pole jest równe

cos2α AB--+-CD-- 2a-cosα-tg2α-−-a-sinα-+-a-sin-α- P = 2 ⋅h = 2 ⋅a cosα = 2 sin α cosα ⋅-sin2α + (− sin2 α+ cos2α) = a2 cosα ⋅-------------cos2α----------------------= 2sin α a2 ctgα sin2 2α + cos2 2α a2ctg α = --------⋅ -----------------= -------- 2 cos2α 2cos 2α

Sposób II

Podobnie jak poprzednio wyliczamy

h = a cosα AE = a sinα co s2α FB = a------. sinα

To co zrobimy inaczej, to wyliczymy długość odcinka CD = EF bezpośrednio z twierdzenia sinusów w trójkącie ACD . Aby to zrobić zauważmy, że ∡DCA = ∡CAB = 90 ∘ − 2 α . Zatem

------a-------= -CD-- ⇒ CD = a-sin-α. sin(90∘ − 2α ) sin α cos 2α

Zatem pole jest równe

2 AE + 2CD + F B asin α+ 2caossin2αα-+ a cossin-αα- P = -----------------⋅h = ------------------------⋅a cosα = 2 2 2 = ---a-co-sα---(sin2α cos 2α+ 2sin2 α+ cos2α cos 2α) = 2 sin α cos2 α a2ctgα = --------(cos 2α(sin2α + co s2α) + 2 sin 2α) = 2 cos2 α -a2ctgα- 2 = 2 cos2 α(cos 2α + 2sin α) = 2 2 = -a-ctgα-(1 − 2 sin2 α + 2sin2 α) = -a-ctgα-. 2 cos2 α 2 cos2 α

Sposób III

Tym razem pójdziemy jeszcze dalej, i obie podstawy wyliczymy z twierdzenia sinusów. Podobnie jak poprzednio wyliczamy

h = acos α a-sin-α- CD = co s2α ∡DCA = 90∘ − 2α.

Aby wyliczyć podstawę AB , skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC . Zanim to zrobimy popatrzmy na trójkąt ACD .

∘ ∡ADC = 180 − ∡DAB = 90+ α -----a----- ----AC----- sin ∡DCA = sin ∡ADC a AC ---------------- = -------------- sin ∡(90 ∘ − 2 α) sin ∡(9 0+ α) aco-sα- AC = cos 2α.

Ponieważ ∡ACB = 90∘ + α , patrząc na trójkąt ABC mamy

----AB-------= AC--- sin (90∘ + α) sin α a cosα cos α AB = ------------. c os2α sinα

Zatem pole jest równe

2 coasc2oαssiαnα-+ acsoins2αα --------2-------- ⋅acos α = 2 2 = --a--cosα----⋅(cos2α + sin2 α) = -a-ctg-α. 2sinα cos 2α 2 cos 2α

 
Odpowiedź: 2 2accotsg2αα

Wersja PDF