Zadanie nr 9082929
Dany jest prostokąt . Na boku tego prostokąta wybrano taki punkt , że , a na przedłużeniu boku wybrano taki punkt , że . Niech oznacza punkt przecięcia prostej z prostą (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty i są przystające.
Rozwiązanie
Sposób I
Odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie (bo i ), więc . Ponadto
więc trójkąty prostokątne i mają przyprostokątne tej samej długości. Trójkąty te są więc przystające.
Sposób II
Niech będzie rzutem punktu na bok .
Trójkąty i mają równe kąty (bo oba są prostokątne i ) oraz . To oznacza, że są przystające, czyli w szczególności
Wiemy ponadto, że , więc przyprostokątne trójkątów prostokątnych i mają równe długości. Trójkąty te są więc przystające.