/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 9443709

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 3√ 3- .

Rozwiązanie

Naszkicujmy sobie opisaną sytuację.

PIC

Ponieważ

∡ACD = ∡CAB = ∡CAD

(prosta AC jest dwusieczną kąta A ), to trójkąt ACD jest równoramienny, czyli AD = CD . Oznaczmy tę wspólną długość przez a . Wtedy

AE = FB = AB--−-EF--= a- 2 2

i stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED mamy

∘ ------------ ∘ -------- ∘ ---- √ -- DE = AD 2 − AE 2 = a2 − a2-= 3a2-= a---3. 4 4 2

Zatem z podanego pola mamy równanie

√ -- a+--2a- --3a- √ -- 2 ⋅ 2 = 3 3 2 a = 4 ⇒ a = 2.

 
Odpowiedź: 2,2,2,4

Wersja PDF