/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 9515099

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Pole rombu jest równe 2 6 0 cm . Dłuższa przekątna rombu podzieliła kąt ostry rombu na takie dwa kąty o mierze α , że tg α = 185 . Oblicz długość boku rombu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe oraz dzielą się na połowy, trójkąt ABS jest prostokątny i ma pole 1PABCD = 15 4 . Korzystając z definicji tangensa w trójkącie ABS mamy

c- tg α = b 8 c 8 ---= -- ⇒ c = --b . 15 b 15

Z drugiej strony, ponieważ pole jest równe 15, mamy

cb = 30 ( ) -8b b = 30 15 15 b2 = 30 ⋅--- 8 2 152- 15- b = 4 ⇒ b = 2 .

Daje to

c = 8-b = 8--⋅ 15-= 4. 15 15 2

Długość a boku rombu wyliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 AB = AS + SB a2 = b2 + c2 a2 = 22-5+ 16 4 2 22-5+--64 a = 4 28 9 17 a2 = ---- ⇒ a = --- 4 2

Sposób II

Tym zadanie rozwiążemy używając więcej trygonometrii. Ponieważ pole rombu można liczyć ze wzoru

2 P = a sin 2α,

To do wyliczenia boku rombu wystarczy wyliczyć sin 2α . Można to zrobić na różne sposoby, my wyliczymy najpierw sin α i co sα , a potem sin 2α . Liczymy

sin α 8 ----- = --- /()2 co sα2 15 -sin--α 6-4- co s2α = 225 2 2 225 sin α = 64(1 − sin α ) 2 8-- 289 sin α = 64 ⇒ sin α = 17 ∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- cosα = 1 − sin2α = 1 − -64-= 225-= 15. 289 289 17

W tym rachunku korzystaliśmy z tego, że α jest kątem ostrym (przy wyborze znaku cosinusa). Mamy więc

sin 2α = 2 sinα cos α = 2 ⋅-8-⋅ 15-= 24-0. 17 17 28 9

Z podanego pola wyliczamy a .

60 = a 2 ⋅ 24-0 ⇒ a2 = 289- ⇒ a = 17. 28 9 4 2

 
Odpowiedź: 172 cm

Wersja PDF