/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 9688408

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Pole trapezu jest równe P , a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i załóżmy, że AB : CD = 2 : 1 .

PIC

Jedną z najważniejszych własności trapezu, która jest notorycznie wykorzystywana w zadaniach, jest podobieństwo trójkątów ABS i DSC . W dodatku, skala podobieństwa to dokładnie stosunek długości podstaw. Informacja ta oznacza w szczególności, że stosunki pól

S 1 : S3 = S1 : S4 = S3 : S2 = S4 : S 2

są równe 2. Aby to zobaczyć, popatrzmy na trójkąty BSA i SDA . Mają one wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A , a stosunek długości podstaw to BS : SD , czyli dokładnie skala podobieństwa trójkątów ABS i CDS . Podobnie uzasadniamy pozostałe równości. Morał z tego jest taki, że wszystkie pola możemy wyliczyć w zależności od jednego z nich, np. od S 2 . Mamy

S = S = 2S 3 4 2 S1 = 2S 3 = 4S2.

Stąd

P = S + S + S + S = 4S + 2S + 2S + S = 9S ⇒ S = P-. 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 9

 
Odpowiedź: P- 2P 2P 4P 9,9 , 9 ,9

Wersja PDF