/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 9747002

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, ramię ma długość 7 cm, a przekątna 8 cm. Oblicz długości podstaw trapezu wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 4 cm.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku i obserwacji, że odcinek łączący środki ramion w trapezie o podstawach a i b ma długość a+2b- – łatwo to odczytać z prawego rysunku.

PIC

Zatem suma podstaw trapezu wynosi 8 i jeżeli oznaczymy CD = a to AB = 8− a oraz

EB = AB--−-CD--= 8-−-2a-= 4− a. 2 2

Sposób I

Zauważmy, że AE = (4− a)+ a = 4 , zatem stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AEC mamy

2 2 2 2 2 h = AC − AE = 8 − 4 = 64 − 1 6 = 48.

Patrzymy teraz na trójkąt EBC .

2 2 2 2 EB = BC − h = 7 − 48 = 49− 48 = 1.

Zatem AB = AE + EB = 4+ 1 = 5 i CD = 8− AB = 3 .

Sposób II

Stosując twierdzenie Pitagorasa w każdym z trójkątów AEC i EBC mamy

AC 2 − AE 2 = h2 = BC 2 − EB 2 64 − 16 = h 2 = 49 − (4− a)2 2 − 1 = − 16 + 8a − a a2 − 8a+ 15 = 0 Δ = 64− 60 = 4 8-−-2- 8+--2- a = 2 = 3, ∨ a = 2 = 5.

Przy naszych oznaczeniach musi być a < 4 , więc a = 3 , a AB = 8− 3 = 5 .  
Odpowiedź: 3 i 5

Wersja PDF