Zadanie nr 9783510

W romb, którego bok ma długość 5 cm, a kąt ostry ma miarę ∘ 60 , wpisano okrąg. Oblicz pole czworokąta otrzymanego przez połączenie kolejnych punktów styczności tego okręgu z bokami rombu.

Rozwiązanie

Zadanie to ma wiele możliwych rozwiązań, my pokażemy dwa z nich.

Sposób I

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Po pierwsze łatwo jest obliczyć promień okręgu wpisanego – ponieważ odcinki łączące środek okręgu z punktami styczności są prostopadłe do boków, to średnica jest dokładnie wysokością rombu. Możemy długość tej średnicy obliczyć z trójkąta prostokątnego AHD .

DH-- 5 = sin∡A √ -- 2r-= --3- 5 2 √ -- 5 3 FE = 2r = -----. 2

Interesujący nas czworokąt składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych EGF i EF L (są prostokątne bo są oparte na średnicy). Wystarczy obliczyć pole jednego z nich. Przeciwprostokątną tych trójkątów przed chwilą obliczyliśmy, teraz obliczymy ich kąty ostre.

Ponieważ odcinki i są prostopadłe do odpowiednich boków oraz suma kątów czworokąta F OGC wynosi ∘ 360 , mamy ∘ ∡F OG = 120 . Trójkąt F OG jest równoramienny, więc ∡OF G = 30∘ (jeżeli ktoś nie boi się takich rzeczy, to można też było zauważyć, że na czworokącie OGCF można opisać okrąg, więc ∡OF G = ∡OCG jako kąty wpisane).

Obliczyliśmy więc kąt ostry trójkąta EGF . Znamy też jego przeciwprostokątną, możemy więc obliczyć jego przyprostokątne.

√ -- √ -- F-G-= cos30 ∘ ⇒ FG = 5---3⋅ --3-= 15- F E √2-- 2 √4-- EG 5 3 1 5 3 ----= sin 30∘ ⇒ EG = -----⋅ --= ----- F E 2 2 4

Liczymy pole czworokąta

√ -- √ -- 1 15 5 3 75 3 P = 2⋅ --⋅FG ⋅EG = FG ⋅ EG = ---⋅ -----= -----. 2 4 4 16

Sposób II

Podobnie jak poprzednio obliczamy wysokość rombu 5√-3 LG = F E = 2 oraz ∘ ∡EOL = 120 .

Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole równoległoboku

P = 1cd sin φ , 2

gdzie c,d przekątne równoległoboku a kąt między nimi.

Każdy z kątów EGF , GF L , F LE i LEG jest oparty na średnicy, zatem czworokąt EGF L jest prostokątem (można też było zauważyć, że jego przekątne są równej długości i dzielą się na połowy). W szczególności możemy skorzystać z powyższego wzoru na pole.