Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3077869

Kwadrat o wierzchołkach A = (1,2),B = (4,1),C = (5,4),D = (2,5) przekształcono w jednokładności o skali ujemnej i otrzymano kwadrat o wierzchołkach K = (2,1 ),L = (8,− 1),M = (10,5),N = (4,7) . Wyznacz środek i skalę tej jednokładności.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Ustalenie skali to żaden problem: liczymy ile razy zmieniła się długość boku kwadratu.

 ∘ --------------------- √ --- KL-- --(8-−-2)2 +-(−-1−--1)2- --40- k = − AB = − ∘ -------2----------2 = − √ ---= − 2. (4− 1) + (1− 2) 10

Najważniejsze w tym zadaniu to poprawnie ustalić, które wierzchołki przechodzą na które. Jednokładność przeprowadza odcinek na odcinek równoległy, więc bok AB musi przejść na bok KL lub na bok MN . Ponieważ jednak wiemy, że skala jednokładności jest ujemna, obraz boku AB w jednokładności musi być wyżej niż obraz boku CD , więc bok AB musi przejść na bok MN . Co więcej, zwrot wektora  −→ AB również ulega zmianie przy jednokładności o ujemnej skali, więc punkt A musi przejść na M , a punkt B na punkt N .

Teraz wiemy już wszystko, co jest nam potrzebne do wyznaczenia środka jednokładności.

Sposób I

Aby wyznaczyć środek jednokładności wystarczy znaleźć punkt wspólny prostych AM i BN .

Równanie prostej BN łatwo zgadnąć: x = 4 , a równanie prostej AM wyznaczamy podstawiając współrzędne punktów A i M do wzoru y = ax+ b .

{ 2 = a + b 5 = 10a + b.

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować b ) mamy 9a = 3 , czyli a = 13 . Zatem b = 2− a = 53 . Pozostało znaleźć punkt wspólny prostych y = 1x + 5 3 3 oraz x = 4 . Podstawiamy x = 4 do pierwszego równania

 4 5 9 y = 3 + 3-= 3-= 3.

Zatem S = (4 ,3) .

Sposób II

Skoro wiemy, że punkt A przechodzi na punkt M , to wystarczy znaleźć punkt S = (x,y) odcinka AM taki, że AS- = 1 SM 2 . Najłatwiej zapisać to przy pomocy wektorów.

−→ −→ SM = 2 AS [10 − x ,5− y] = 2[x − 1,y− 2] { 10 − x = 2x − 2 ⇒ x = 4 5− y = 2y − 4 ⇒ y = 3.

Zatem S = (4 ,3) .  
Odpowiedź: Środek: (4,3 ) , skala: − 2 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!