Kwadrat o wierzchołkach A=(1,2),B=(4,1),C=(5,4),D=(2,5) przekształcono... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Jednokładność, 3077869

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Przekształcenia

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Przekształcenia/Jednokładność

Zadanie nr 3077869

Kwadrat o wierzchołkach $A = (1,2),B = (4,1),C = (5,4),D = (2,5)$ przekształcono w jednokładności o skali ujemnej i otrzymano kwadrat o wierzchołkach $K = (2,1 ),L = (8,− 1),M = (10,5),N = (4,7)$ . Wyznacz środek i skalę tej jednokładności.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Ustalenie skali to żaden problem: liczymy ile razy zmieniła się długość boku kwadratu.

∘ --------------------- √ --- KL-- --(8-−-2)2 +-(−-1−--1)2- --40- k = − AB = − ∘ -------2----------2 = − √ ---= − 2. (4− 1) + (1− 2) 10

Najważniejsze w tym zadaniu to poprawnie ustalić, które wierzchołki przechodzą na które. Jednokładność przeprowadza odcinek na odcinek równoległy, więc bok $AB$ musi przejść na bok $KL$ lub na bok $MN$ . Ponieważ jednak wiemy, że skala jednokładności jest ujemna, obraz boku $AB$ w jednokładności musi być wyżej niż obraz boku $CD$ , więc bok $AB$ musi przejść na bok $MN$ . Co więcej, zwrot wektora $−→ AB$ również ulega zmianie przy jednokładności o ujemnej skali, więc punkt $A$ musi przejść na $M$ , a punkt $B$ na punkt $N$ .

Teraz wiemy już wszystko, co jest nam potrzebne do wyznaczenia środka jednokładności.

Sposób I

Aby wyznaczyć środek jednokładności wystarczy znaleźć punkt wspólny prostych $AM$ i $BN$ .

Równanie prostej $BN$ łatwo zgadnąć: $x = 4$ , a równanie prostej $AM$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktów $A$ i $M$ do wzoru $y = ax+ b$ .

{ 2 = a + b 5 = 10a + b.

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować $b$ ) mamy $9a = 3$ , czyli $a = 13$ . Zatem $b = 2− a = 53$ . Pozostało znaleźć punkt wspólny prostych $y = 1x + 5 3 3$ oraz $x = 4$ . Podstawiamy $x = 4$ do pierwszego równania

4 5 9 y = 3 + 3-= 3-= 3.

Zatem $S = (4 ,3)$ .

Sposób II

Skoro wiemy, że punkt $A$ przechodzi na punkt $M$ , to wystarczy znaleźć punkt $S = (x,y)$ odcinka $AM$ taki, że $AS- = 1 SM 2$ . Najłatwiej zapisać to przy pomocy wektorów.