Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3303604

Oblicz współrzędne środka S i skalę k jednokładności, w której obrazem odcinka PR jest odcinek P 1R 1 i wiadomo, że P = (− 2,1) , R1 = (3 ,1) ,  −→ SP 1 = [3,9] i −→ SR = [2 ,1] .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Sposób I

Na początku nie bardzo widać o co się w tym zadaniu zaczepić, więc spróbujmy po prostu zapisać, że punkty P1 i R 1 są obrazami P i R w jednokładności o środku S = (x,y) i skali k . Zwróćmy uwagę, że poniższe równania są prawdziwe niezależnie od tego, czy skala jednokładności jest dodatnia (prawy obrazek), czy ujemna (lewy obrazek)

( −→ −→ { SP 1 = k ⋅SP ( −→ −→ SR 1 = k⋅SR . { [3,9] = k ⋅[−2 − x ,1− y] [3 − x,1 − y] = k ⋅[2,1]. ( | 3 = −k (x+ 2) ||{ 9 = k(1− y) || 3 − x = 2k |( 1 − y = k

Podstawiając 1− y = k z czwartego równania do drugiego mamy

 2 k = 9,

czyli k = − 3 lub k = 3 . Wtedy z pierwszego równania mamy odpowiednio x = − 1 i x = − 3 . Łatwo sprawdzić, że tylko rozwiązanie (k,x) = (3,− 3) spełnia trzecie równanie. Zatem k = 3 i czwartego równania mamy y = − 2 . Stąd S = (− 3 ,− 2 ) . Na koniec dokładniejszy rysunek w układzie współrzędnych.


PIC

Sposób II

Gdy popatrzymy na schematyczny rysunek opisanej sytuacji, to widać, że podane informacje pozwalają napisać równania prostych SP i SR – pierwsza z nich to prosta przechodząca przez P i równoległa do wektora S−P→ 1 , a druga to prosta przechodząca przez R 1 i równoległa do wektora −→ SR . Parametryczne równania tych prostych to odpowiednio

 − → −→ (x,y) = P + s⋅SP 1 (x,y) = R 1 + t⋅SR { { x = −2 + 3s x = 3+ 2t y = 1 + 9s y = 1 + t

Szukamy punktu wspólnego tych prostych (czyli punktu S ) porównując odpowiednie współrzędne.

{ − 2 + 3s = 3 + 2t 1 + 9s = 1+ t. { 3s = 5+ 2t 9s = t.

Podstawiamy teraz t = 9s z drugiego równania do pierwszego i mamy

3s = 5 + 18s 1- 15s = − 5 ⇒ s = − 3.

Teraz z równania prostej SP obliczamy współrzędne punktu S

S = (− 2 + 3s,1 + 9s) = (− 3,− 2).

Mamy w takim razie

−→ −→ SR 1 = [3 + 3,1 + 2] = [6,3] = 3 ⋅[2,1] = SR ,

co oznacza, że skala jednokładności jest równa k = 3 .  
Odpowiedź: S = (− 3,− 2) i k = 3 A) B) C) D)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!