/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Przekształcenia/Jednokładność

Zadanie nr 3968143

Obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku S = (1,− 5) i skali − 3 jest trójkąt KLM o wierzchołkach K = (19,7 ), L = (− 2,13), M = (13,− 8) . Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na początek możemy spróbować naszkicować opisaną sytuację.

PIC

Sposób I

Z definicji jednokładności mamy równości.

( −→ −→ ||| SK = − 3SA { −→ − → SL = − 3 SB |||( −→ −→ SM = − 3SC ( |{ [19 − 1,7 + 5] = − 3[xA − 1 ,yA + 5] ⇒ [xA − 1,yA + 5] = [−6 ,−4 ] [− 2 − 1,13 + 5] = − 3[xB − 1,yB + 5 ] ⇒ [xB − 1 ,yB + 5] = [1 ,−6 ] |( [13 − 1,− 8 + 5] = − 3[xC − 1,yC + 5] ⇒ [xC − 1,yC + 5] = [− 4,1].

Otrzymujemy stąd A = (− 5,− 9), B = (2,− 11), C = (− 3,− 4) .

Sposób II

Jeżeli trójkąt KLM jest obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku S i skali − 3 , to trójkąt ABC jest obrazem trójkąta KLM w jednokładności o tym samym środku i skali 1 − 3 . Z definicji jednokładności mamy równości.

( −→ −→ ||| SA = − 13SK { −→ − → | SB = − 13 SL ||( −→ 1 −→ SC = − 3SM ( 1 |{ [xA − 1,yA + 5] = − 3[19 − 1,7 + 5] = [− 6,− 4] [xB − 1,yB + 5 ] = − 13[− 2 − 1,13 + 5 ] = [1,− 6] |( 1 [xC − 1,yC + 5] = − 3[13− 1,− 8+ 5] = [− 4,1].

Otrzymujemy stąd A = (− 5,− 9), B = (2,− 11), C = (− 3,− 4) .  
Odpowiedź: A = (− 5,− 9), B = (2,− 11 ), C = (− 3,− 4)

Wersja PDF