/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Przekształcenia/Jednokładność

Zadanie nr 6390962

Trójkąt o wierzchołkach A = (2,− 1),B = (7,6),C = (7,0) przekształcono w jednokładności o skali − 2 i otrzymano trójkąt o wierzchołkach A ′B′C′ . Wyznacz współrzędne punktów B ′ i C′ jeżeli A ′ = (11,11) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na początku trudno zrobić dokładny rysunek, więc szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy, że znając skalę jednokładności oraz współrzędne punktów A i A ′ łatwo jest wyznaczyć środek S = (x,y) jednokładności. Z definicji jednokładności mamy

−→ ′ −→ SA = −2 ⋅SA [11 − x ,11− y] = − 2[2− x,− 1− y] { 11 − x = − 4 + 2x ⇒ x = 5 11 − y = 2 + 2y ⇒ y = 3

Zatem S = (5 ,3) . Wyznaczamy teraz współrzędne punktu ′ B = (x,y) .

−→ −→ SB′ = − 2 ⋅SB [x − 5 ,y − 3 ] = −2 [7 − 5,6 − 3] { x − 5 = − 4 ⇒ x = 1 y − 3 = − 6 ⇒ y = − 3.

Zatem B′ = (1,− 3) . Teraz wyznaczamy współrzędne punktu C ′ = (x,y) .

−→′ −→ SC = − 2⋅ SC [x − 5,y − 3] = − 2[7− 5,0 − 3] { x − 5 = − 4 ⇒ x = 1 y − 3 = 6 ⇒ y = 9 .

Zatem ′ C = (1,9 ) .

Na koniec dokładny rysunek sytuacji opisanej w zadaniu.

PIC

 
Odpowiedź: B ′ = (1 ,−3 ) , C′ = (1,9 )

Wersja PDF