Zadanie nr 6692120
Dana jest prosta o równaniu
oraz punkt
. Wyznacz punkt
symetryczny do punktu
względem prostej
.
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do i przechodzącej przez punkt
.
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy
![a⋅3 = − 1 ⇒ a = − 1-. 3](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR3x.gif)
Teraz podstawiamy współrzędne punktu i wyznaczamy wyraz wolny
![( ) 2 = 6 ⋅ − 1- + b ⇒ b = 4. 3](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR5x.gif)
Zatem prosta ma równanie:
.
Sposób I
Wyznaczamy punkt przecięcia się dwóch prostych
![{ y = 3x− 1 y = − 1x+ 4. 3](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR9x.gif)
Przyrównujemy do siebie równania i otrzymujemy
![1 3 3x − 1 = − -x + 4 ⇒ x = -. 3 2](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR10x.gif)
Zatem
![3 7 y = 3 ⋅2-− 1 = 2.](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR11x.gif)
Wyznaczony przed chwilą punkt jest środkiem odcinka
. Wyznaczamy punkt
![( ) ( ) 3 7 a+ 6 b + 2 -, -- = -----,------ 2 2 2 2 a+ 6 = 3 i b + 2 = 7 a = − 3 i b = 5.](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR15x.gif)
Sposób II
Tym razem skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. Obliczamy odległość punktu od prostej
(punkt
będzie leżeć w tej samej odległości od
)
![|3⋅ 6− 1⋅2 − 1| 15 3√ --- d(A ,l) = -∘-------------- = √----= -- 10. 32 + (− 1)2 10 2](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR20x.gif)
Wprowadzamy oznaczenie . Wówczas otrzymujemy układ równań
![{ |3a−b-−1| 3√10- d (B ,l) = √ 10 = 2 b = − 1a+ 4. 3](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR22x.gif)
Podstawiamy drugie równanie do pierwszego i obliczamy
![|| 1 || √ --- |3a-+-3a-−-4-−-1| 3--10- √ --- √ --- = 2 / ⋅ 10 | 1|0 ||10- || | 3 a− 5| = 15 || || 10-|a− 3| = 15 / ⋅-3- 3 | 2| 10 || 3 || 45 ||a − --|| = --- 2 10 3- 45- 3- 45- a− 2 = 10 lub a − 2 = − 10 a = 6 lub a = − 3 .](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR24x.gif)
Wartość odpowiada punktowi
, więc możemy nie liczyć drugiej współrzędnej.
![b = − 1-⋅(− 3)+ 4 = 5. 3](https://img.zadania.info/zad/6692120/HzadR27x.gif)
Odpowiedź: