Zadanie nr 9781805

Wyznacz równanie okręgu, który jest symetryczny do okręgu o równaniu

2 2 x + 10x + y − 2y + 1 9 = 0

względem prostej y = 2x + 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy dane równanie okręgu tak, aby było widać jaki ma środek i promień.

2 2 x + 10x + y − 2y+ 19 = 0 (x + 5)2 + (y − 1)2 − 25 − 1 + 19 = 0 (x + 5)2 + (y − 1)2 = 7 .

Teraz możemy wykonać szkicowy rysunek.

Widać, że okrąg symetryczny do danego okręgu będzie miał taki sam promień – musimy tylko wyznaczyć jego środek . Rozpocznijmy od napisania równania prostej prostopadłej do danej prostej y = 2x+ 1 i przechodzącej przez punkt S = (− 5,1) . Prosta ta ma postać 1 y = − 2x + b . Współczynnik obliczymy podstawiając współrzędne punktu .

1 3 1 = − --⋅(− 5)+ b ⇒ b = − --. 2 2

Zatem prosta ′ SS ma równanie 1 3 y = − 2x − 2 .

Sposób I

Wyznaczmy punkt wspólny prostych y = 2x + 1 i y = − 1x− 3 2 2 .

1- 3- 2x + 1 = − 2x − 2 / ⋅2 4x + 2 = −x − 3 5x = − 5 / : 5 x = − 1.

Stąd y = 2x + 1 = − 1 i P = (− 1,− 1) . Współrzędne punktu ′ S = (x,y) możemy teraz wyliczyć z zależności −→ −S→P = PS ′ .

−→ −→ SP = PS ′ [−1 + 5 ,− 1 − 1] = [x + 1,y + 1] [4,− 2] = [x + 1 ,y + 1 ].

Stąd S′ = (3,− 3) i szukane równanie okręgu ma postać

(x − 3)2 + (y + 3)2 = 7.

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie wyznaczamy współrzędne punktu P = (− 1,− 1) przecięcia prostych y = 2x + 1 i 1 3 y = − 2x − 2 . Teraz wyznaczamy współrzędne punktu ( ) S′ = (x,y) = x,− 1x − 3 2 2 z warunku

SP = P S′ 2 ′ 2 SP = (P S ) ( 1 3 ) 2 (− 1 + 5)2 + (− 1 − 1)2 = (x + 1)2 + − -x − -+ 1 / ⋅4 2 2 4 (16+ 4) = 4(x + 1)2 + (−x − 1)2 2 8 0 = 5(x + 1) / : 5 1 6 = (x + 1)2 x + 1 = − 4 ∨ x + 1 = 4 x = − 5 ∨ x = 3 .

Pierwsze rozwiązanie daje współrzędne punktu , zatem x = 3 i y = − 12x − 32 = − 3 . Wtedy S′ = (3,− 3) i szukane równanie okręgu ma postać

(x − 3)2 + (y + 3)2 = 7.

Sposób III

Zauważmy, że długość odcinka SS′ jest dwa razy większa niż odległość punktu od osi symetrii. Zatem

√ -- ′ |1-+-1-0−--1| 2-0- 20--5- √ -- SS = 2⋅ √ ------ = √ --= 5 = 4 5. 1 + 4 5

Szukamy teraz na prostej ′ SS punktu, którego odległość od jest równa √ -- 4 5 . Szukamy punktu w postaci ( ) S′ = x ,− 12x− 32 .

√ -- ′ 4 5 = SS ( 1 3 ) 2 80 = (SS ′)2 = (x+ 5)2 + − -x − --− 1 / ⋅4 2 2 320 = 4 (x+ 5)2 + (−x − 5 )2 2 320 = 5 (x+ 5) / : 5 64 = (x + 5 )2 x + 5 = − 8 ∨ x + 5 = 8 x = − 13 ∨ x = 3.

Nawet ze szkicowego rysunku widać, że x = − 13 daje punkt leżący po tej samej stronie osi symetrii, co punkt . Zatem x = 3 i 1 3 y = − 2x − 2 = − 3 . Stąd S ′ = (3 ,−3 ) i szukane równanie okręgu ma postać