Dany jest punkt P=(-2,3) i prosta k o równaniu 2x-y+4=0. Wyznacz... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Symetria środkowa, 3139479

Forum

Przekształcenia

Zadanie nr 3139479

Dany jest punkt $P = (− 2,3)$ i prosta $k$ o równaniu $2x − y + 4 = 0$ .

Wyznacz równanie prostej $k′$ , która jest obrazem prostej $k$ w symetrii względem punktu $P$ .
Oblicz odległość między prostymi $k$ i $′ k$ .

Rozwiązanie

Jak to zwykle w zadaniach z geometrii analitycznej istnieje wiele możliwych rozwiązań. My zrobimy to nastepująco: ponieważ znamy współczynnik kierunkowy prostej $′ k$ (bo jest taki sam jak prostej $k$ ), to aby napisać równanie tej prostej potrzebujemy znaleźć jeden jej punkt. Chyba najprostszy na to sposób, to wziąć jakikolwiek punkt prostej $k$ , np. $A = (0,4)$ i skorzystać z faktu, że jeżeli punkt $A ′ = (x ,y)$ jest obrazem tego punktu w symetrii względem punktu $P$ , to $P$ jest środkiem odcinka $′ AA$ (inny sposób to skorzystanie z równości: $→ A→P = PA ′$ ). Mamy zatem $( 0+ x 4+ y ) (− 2,3) = -----, ------ ⇒ A ′ = (− 4,2). 2 2$
Jak już zauważyliśmy, szukana prosta jest postaci $y = 2x+ b$ . Pozostało wyznaczyć $b$
$2 = −8 + b ⇒ b = 10.$

Odpowiedź: $y = 2x + 10$
Szukana odległość jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $k$ . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu $P = (x0,y0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$ : $|Ax + By + C | ---√0-----0------. A 2 + B2$
W naszej sytuacji mamy
$√ -- |−-√4−--3+--4|= √3--= 3--5-. 4 + 1 5 5$

Odpowiedź: $6√5- 5$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!