/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 2816233

Punkty P 1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P 11P 22 i P1P16 .

PIC

Udowodnij, że |∡P 16AP 11| = 60∘ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Połączmy końce cięciw ze środkiem okręgu i dorysujmy cięciwę P11P16 .

PIC

Zauważmy, że kąty środkowe ∡P 1OP 11 i ∡P 22OP 16 są oparte na łukach, które stanowią odpowiednio 1204 = 512- i 624 = 14 całego okręgu. Mamy zatem

∡P P P = 1-∡P OP = 1-⋅-5-⋅360 ∘ = 1-⋅150∘ = 75∘ 1 16 11 2 1 11 2 12 2 1 1 1 ∘ 1 ∘ ∘ ∡P 22P11P16 = --∡P 22OP 16 = --⋅--⋅360 = --⋅90 = 45 . 2 2 4 2

Patrzymy teraz na trójkąt P16AP 11 .

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡P 16AP 11 = 1 80 − ∡P 1P16P11 − ∡P 22P 11P 16 = 180 − 75 − 45 = 60 .

Sposób II

Tym razem dorysujmy cięciwę P 6P11 . Zauważmy, że łuki łączące P 11 i P16 oraz P 1 i P 6 mają tę samą długość, więc

∡P 11P1P 16 = ∡P 1P11P6.

To oznacza, że cięciwy P1P 16 i P 6P11 są równoległe. Zatem

∡P 16AP 11 = ∡P 22P11P6 = 1∡P 22OP 6. 2

Teraz wystarczy zauważyć, że kąt ∡P 22OP 6 jest oparty na łuku stanowiącym 284 = 13 całego okręgu. W takim razie

∡P AP = 1∡P 22OP 6 = 1-⋅ 1⋅ 360∘ = 60 ∘. 16 11 2 2 3
Wersja PDF