/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 3185238

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Z półkola o promieniu r wycięto półkole o średnicy r (zobacz rysunek). Cięciwa AB jest styczna do mniejszego półkola i jest równoległa do średnicy większego półkola. Oblicz pole zacieniowanego obszaru.

PIC

Rozwiązanie

Niech C będzie środkiem cięciwy AB , a D środkiem większego półkola.

PIC

W trójkącie prostokątnym BCD odcinek CD ma długość równą promieniowi mniejszego półkola, a odcinek BD długość równą promieniowi większego półkola. W takim razie na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy

BD 2 = CD 2 + BC 2 2 r2 = r- + 9 ⋅3 4 3 2 2 4r = 27 ⇒ r = 36 ⇒ r = 6

Pole zacieniowanego obszaru jest więc równe

1- 2 1- ( r) 2 1- 1- 9π- 27π- 2πr − 2π 2 = 2 ⋅π ⋅36 − 2 ⋅ π ⋅9 = 18π − 2 = 2 .

 
Odpowiedź: 27π -2-

Wersja PDF