/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 3730003

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okręgi o1 i o2 są styczne zewnętrznie oraz oba są styczne wewnętrznie do okręgu o3 . Środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, a cięciwa EF okręgu o3 jest wspólną styczną okręgów o1 i o2 . Oblicz długość odcinka EF jeżeli promienie okręgów o 1 i o 2 są odpowiednio równe r 1 i r 2 .

PIC

Rozwiązanie

Niech S będzie punktem styczności okręgów o1 i o2 , a A i B niech będą punktami styczności tych okręgów z okręgiem o3 .

PIC

Sposób I

Wiemy, że środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, więc AB jest średnicą okręgu o3 . W takim razie trójkąt ABE jest prostokątny. Prosta EF jako styczna do o 1 i o 2 jest prostopadła do prostej łączącej środki tych okręgów, czyli do AB . W takim razie ES jest wysokością w trójkącie ABE .

Aby obliczyć długość odcinka ES zauważmy, że trójkąty ASE i ESB są podobne (bo każdy z nich jest podobny do trójkąta AEB ). W takim razie

AS-- SE- SE = SB 2 SE = AS ⋅SB = √2r1 ⋅-2r2 =√ 4r1r2 EF = 2SE = 2 ⋅2 r1r2 = 4 r1r2.

Sposób II

Korzystamy z tego, że wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego ma długość równą średniej geometrycznej długości odcinków, na które wysokość ta dzieli przeciwprostokątną. Mamy zatem

√ -------- ∘ -------- √ ---- EF = 2ES = 2 AS ⋅ SB = 2 2r1 ⋅2r2 = 4 r1r2.

Sposób III

Tym razem patrzymy na trójkąt prostokątny EST , gdzie T jest środkiem największego okręgu. Mamy w nim

AB ET = AT = ----= r1 + r2 2 ST = AT − AS = r1 + r2 − 2r1 = r2 − r1.

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa

∘ ----------- ∘ ---------------------- ∘ ----- EF = 2ES = 2 = ET 2 − ST 2 = 2 (r1 + r2)2 − (r2 − r1)2 = 2 4r1r2 = 4 √r-1r2.

 
Odpowiedź: 4√r--r- 1 2

Wersja PDF