/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 6013926

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okrąg dopisany do boku AB trójkąta ABC to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków AC i BC .

PIC

Wykaż, że jeżeli M jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku AC to długość odcinka CM jest równa połowie obwodu trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Oznaczmy punkty styczności okręgu dopisanego z bokiem AB i przedłużeniem boku BC przez D i N odpowiednio.

PIC

Przyjmijmy ponadto oznaczenia jak na rysunku, czyli AC = b,BC = a,AD = AM = x ,BD = BN = y . Odcinki CM i CN jako odcinki stycznych mają tę samą długość więc

CM = b + x CM = CN = a + y.

Dodając te dwie równości stronami mamy

2CM = a+ b + x + y = a+ b+ c a+--b+-c- CM = 2 ,

gdzie oznaczyliśmy c = x+ y = AB .

Wersja PDF