/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 9954073

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P5P21 i P1P 15 .

PIC

Udowodnij, że |∡P 15AP 21| = 75∘ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Połączmy końce cięciw ze środkiem okręgu i dorysujmy cięciwę P P 15 21 .

PIC

Zauważmy, że kąty środkowe ∡P 1OP 21 i ∡P 15OP 5 są oparte na łukach, które stanowią odpowiednio 244 = 16 i 1204 = 152 całego okręgu. Mamy zatem

1- 1- 1- ∘ 1- ∘ ∘ ∡P 1P15P21 = 2∡P 1OP 21 = 2 ⋅ 6 ⋅360 = 2 ⋅60 = 30 1 1 5 1 ∡P 15P 21P 5 = -∡P 15OP 5 = -⋅ ---⋅360∘ = --⋅150∘ = 7 5∘. 2 2 12 2

Patrzymy teraz na trójkąt P15AP 21 .

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡P 15AP 21 = 180 − ∡P 1P15P21 − ∡P 15P21P5 = 18 0 − 30 − 75 = 75 .

Sposób II

Tym razem dorysujmy cięciwę P 11P 15 . Zauważmy, że łuki łączące P 11 i P 5 oraz P 15 i P 21 mają tę samą długość, więc

∡P 11P 21P 5 = ∡P 21P11P15.

To oznacza, że cięciwy P5P 21 i P 11P15 są równoległe. Zatem

∡P AP = ∡P P P = 1∡P OP . 15 21 11 15 1 2 11 1

Teraz wystarczy zauważyć, że kąt ∡P 11OP 1 jest oparty na łuku stanowiącym 10 = 5- 24 12 całego okręgu. W takim razie

∡P AP = 1-∡P OP = 1-⋅-5-⋅360 ∘ = 75∘. 15 21 2 11 1 2 12
Wersja PDF