/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013/Matura
Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 4 czerwca 2013 Czas pracy: 180 minut
Rozwiąż nierówność .
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż 2,5.
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Wykaż, że prawdziwa jest równość .
Uzasadnij, że jeżeli , to
.
W równoległoboku miara kąta ostrego jest równa
, a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe 2 i
. Oblicz długość krótszej przekątnej tego równoległoboku.
Punkty i
leżą na okręgu o równaniu
. Wyznacz na tym okręgu taki punkt
, aby trójkąt
był trójkątem równoramiennym o podstawie
.
Wykaż, że dla dowolnego kąta prawdziwa jest tożsamość
.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt
. Kąt nachylenia krawędzi bocznej
do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi
i
zawartymi w ścianie bocznej
tego ostrosłupa (zob. rysunek). Oblicz kosinus tego kąta.
Liczby są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że prawdziwa jest równość
.
Suma długości dwóch boków trójkąta równa się 4, a kąt między tymi bokami ma miarę . Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.
Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby 1, 3, 5. Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy . Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 24.