/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2014

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom podstawowy 3 czerwca 2014 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x ?
A) √ --- x2 = x B) |− x| = x C) |x− 1| = x− 1 D) ∘ --------- (x+ 1)2 = |x+ 1|

Zadanie 2
(1 pkt)

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek 12 : 8 : 3 : 2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?
A) 12% B) 32% C) 48% D) 52%

Zadanie 3
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab + a − b − 1 jest równe
A) (a − 1)(b − 1) B) (a + 1)(b − 1) C) (a − 1)(b + 1) D) (a+ 1)(b+ 1)

Zadanie 4
(1 pkt)

Na prostej o równaniu y = ax + b leżą punkty K = (1 ,0 ) i L = (0,1) . Wynika stąd, że
A) a = − 1 i b = 1 B) a = 1 i b = − 1 C) a = − 1 i b = − 1 D) a = 1 i b = 1

Zadanie 5
(1 pkt)

Dane są liczby: 1 a = log 39 , b = log33 , 1- c = log3 27 . Który z poniższych warunków jest prawdziwy?
A) c < b < a B) b < c < a C) a < c < b D) c < a < b

Zadanie 6
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 3x − 4 dla każdej liczby z przedziału ⟨− 2,2⟩ . Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział
A) ⟨− 10,2⟩ B) (− 10,2⟩ C) ⟨2,10⟩ D) (2,10⟩

Zadanie 7
(1 pkt)

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x ) = 3x2 + 7x + c jest liczba − 73 . Wówczas c jest równe
A) 0 B) 1 C) − 9 8 D) 98

Zadanie 8
(1 pkt)

Liczba 327+-326- 326+ 325 jest równa
A) 1 B) 3 C) 6 D) 9

Zadanie 9
(1 pkt)

Dane są wielomiany: W (x) = 2x2 − 1 , P (x) = x 3 + x , Q (x) = (1 − x)(x + 1 ) . Stopień wielomianu W (x)⋅P (x) ⋅Q (x) jest równy
A) 3 B) 6 C) 7 D) 12

Zadanie 10
(1 pkt)

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y = (x+ 2)(x − 4) jest równa
A) − 8 B) − 4 C) 1 D) 2

Zadanie 11
(1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , wyraz a1 = 5 , natomiast iloraz q = − 2 . Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A) − 1705 B) − 1023 C) 1705 D) 5115

Zadanie 12
(1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , dane są dwa wyrazy: a2 = 11 i a 4 = 7 . Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 36 B) 40 C) 13 D) 20

Zadanie 13
(1 pkt)

Miara kąta α spełnia warunek: 0∘ < α < 90∘ . Wyrażenie -cos2α2- + 1−cos22α 1− sin α sin α jest równe
A) 1 B) 2 2 cos α C) 2 D) 2 2sin α

Zadanie 14
(1 pkt)

W trapezie KLMN , w którym KL ||MN , kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN | = 3 , √ -- |KN | = 4 3 , |∡KLM | = 60∘ . Pole tego trapezu jest równe:

PIC

A) √ -- 4+ 2 3 B) √ -- 10 3 C) √ -- 20 3 D) √ -- 24 + 6 3

Zadanie 15
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy
A) 20 pkt B) 30 pkt C) 50 pkt D) 60 pkt

Zadanie 16
(1 pkt)

W sześcianie EF GHIJKL poprowadzono z wierzchołka F dwie przekątne sąsiednich ścian, F I oraz F K (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa

PIC

A) 30∘ B) 4 5∘ C) 60∘ D) 90∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa

PIC

A) 30∘ B) 6 0∘ C) 90∘ D) 120∘

Zadanie 18
(1 pkt)

Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy
A) √ ---- 108 B) 15 2 C) 15 D) √ --- --108 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1,2 ,3,4,...,30} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe
A) 340 B) 530- C) 360 D) 10 30

Zadanie 20
(1 pkt)

W trójkącie EF G bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG i FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz I (zobacz rysunek) w taki sposób, że |HI | = 7 i |GI | = 3 . Wtedy długość odcinka FI jest równa

PIC

A) 6 B) 9 C) 12 D) 17

Zadanie 21
(1 pkt)

Na planie miasta, narysowanym w skali 1:20 000, park jest prostokątem o bokach 2 cm i 5 cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię
A) 200 00 m 2 B) 40000 m 2 C) 2 2000 00 m D) 2 40000 0 m

Zadanie 22
(1 pkt)

Proste o równaniach: y = mx − 5 i y = (1 − 2m )x + 7 są równoległe, gdy
A) m = − 1 B) 1 m = − 3 C) m = 1 3 D) m = 1

Zadanie 23
(1 pkt)

Punkty M = (2,0) i N = (0 ,− 2 ) są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?
A) 2 2 (x − 2) + (y − 2) = 4
B) 2 2 (x− 2) + (y+ 2) = 4
C) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4
D) (x + 2)2 + (y − 2)2 = 4

Zadanie 24
(1 pkt)

Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96π . Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe
A) 16π B) 24π C) 32 π D) 48π

Zadanie 25
(1 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa
A) 3 B) 9 C) 27 D) 108

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność (2x − 3 )(3− x ) ≥ 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność

( )2 2 2 a-+-b- ≤ a-+--b-. 2 2

Zadanie 28
(2 pkt)

Kąt α jest ostry oraz √- c osα = -33- . Oblicz wartość wyrażenia scionsαα + 1c+ossiαnα .

Zadanie 29
(2 pkt)

Liczby 6,2x + 4,x+ 26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu.

Zadanie 30
(2 pkt)

Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych:

K = {− 4,− 1,1,5 ,6 } i L = { −3 ,−2 ,2,3,4}.

Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.

Zadanie 31
(2 pkt)

Dany jest trójkąt ABC . Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD | = |DE | . Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.

PIC

Zadanie 32
(4 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość √ -- 4 2 . Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60 ∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Zadanie 33
(5 pkt)

Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.

Zadanie 34
(4 pkt)

Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB , gdzie A = (2,1) i B = (5,2) . Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x− y− 3 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołka C .

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania