/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2014

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 3 czerwca 2014 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |x + 6|− 2|x− 4| ≤ 2x− 3 .

Zadanie 2
(4 pkt)

W czworokąt ABCD , w którym √ -- |AD | = 5 3 i |CD | = 6 , można wpisać okrąg. Przekątna BD tworzy z bokiem AB czworokąta kąt o mierze 60∘ , natomiast z bokiem AD tworzy kąt, którego sinus jest równy 3 4 . Wyznacz długości boków AB i BC oraz długość przekątnej BD tego czworokąta.

Zadanie 3
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

x(x − 1 )+ y (y− 1) ≥ xy − 1.

Zadanie 4
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność − 2 sin 3x ≥ 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 5
(3 pkt)

Na przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty ACDE i BF GC . Odcinek AF przecina przyprostokątną BC w punkcie L , a odcinek BE przecina przyprostokątną AC w punkcie K (zobacz rysunek). Udowodnij, że |KC | = |LC | .

PIC

Zadanie 6
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 2 x + (2m − 5)x + 2m + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 takie, że (x 1 + x 2)2 ≥ x21 ⋅x 22 ≥ x21 + x22 .

Zadanie 7
(6 pkt)

Odcinek AB o długości 4 jest zawarty w prostej o równaniu y = 34x − 32 . Symetralna odcinka AB przecina oś Oy w punkcie P = (0,6) . Oblicz współrzędne końców odcinka AB .

Zadanie 8
(6 pkt)

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby.

Zadanie 9
(5 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 6x3 + (m + 4 )x2 − 2x− 1 przez dwumian x − m jest równa 8. Oblicz wartość m oraz pierwiastki tego wielomianu.

Zadanie 10
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 25. Ściany boczne ABS i BCS mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne ADS i CDS też mają jednakowe pola, każde równe 187,5. Krawędzie boczne AS i CS mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 11
(4 pkt)

W urnie jest dziesięć kul: 4 białe, 3 czarne, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród wylosowanych kul nie ma kul w tym samym kolorze. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania