/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2014

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 3 maja 2014 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wskaż nierówność, która opisuje sumę przedziałów zaznaczonych na osi liczbowej.

PIC

A) |x − 2| > 4 2 B) |4− x| > 41 C) |x− 3| < 42 D) |1 − x| > 43

Zadanie 2
(1 pkt)

Jeżeli liczba 3b jest o 20% większa od połowy liczby 2a + b , to liczba a jest większa od b o
A) 100% B) 50% C) 80% D) 200%

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba (1 1 ) log 16 2 + 4 jest równa
A) − 1 + log 12 16 B) 1 + log16 12 C) 6 D) -6

Zadanie 4
(1 pkt)

Układ równań { 3x+ py = 2 qx+ 5y = 4 z niewiadomymi x i y ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zatem liczba p + q jest równa
A) 17 -2 B) 15 C) 13 -2 D) 6

Zadanie 5
(1 pkt)

Która z podanych prostych nie ma punktów wspólnych z trzecią ćwiartką układu współrzędnych?
A) y = x − 1 B) y = 17x + 25 C) √ --- y = − 1 7x− 1 D) y = 1 − x

Zadanie 6
(1 pkt)

Wykres funkcji kwadratowej 2 f(x ) = x + 6x + 10 powstaje z wykresu funkcji 2 g(x ) = x + 1 przez przesunięcie o 3 jednostki
A) w górę B) w prawo C) w lewo D) w dół

Zadanie 7
(1 pkt)

Wyrażenie 2x − 2y − xy+ x2 jest równe wyrażeniu
A) (x − y)(x + 2) B) (x + y)(x+ 2) C) (x − y)(x − 2) D) (x + y)(x − 2)

Zadanie 8
(1 pkt)

Wykresy funkcji y = 3+ (m + 1)x i 1 y = (1− m )x− 3 są prostopadłe. Zatem m
A) jest liczbą ujemną
B) jest liczbą wymierną
C) jest liczbą naturalną
D) jest liczbą niewymierną

Zadanie 9
(1 pkt)

Nierówność 5x − 2mx + 2 < 3 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą jeżeli
A) m = 52 B) m = 0 C) m = 12 D) m = − 1 2

Zadanie 10
(1 pkt)

Równania 3x − 3y + 1 = 0 i 7y + 5 = 0 opisują proste w układzie współrzędnych, które
A) są prostopadłe
B) są równoległe
C) przecinają się pod kątem 45∘
D) przecinają się pod kątem 60 ∘

Zadanie 11
(1 pkt)

Na rysunku 1 jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x) .

PIC

Funkcja przedstawiona na rysunku 2 jest określona wzorem
A) y = f (1− x) B) y = − 1 + f(−x ) C) y = 1 + f (−x ) D) y = f(− 1− x)

Zadanie 12
(1 pkt)

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 2 , w którym a + a + a = 1 7 1 2 3 . Suma a4 + a5 + a6 jest równa
A) 68 B) 289 C) 34 D) 136

Zadanie 13
(1 pkt)

Na tablicy wypisano kolejne wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego

138, 131,...,− 16 , − 23.

Ile liczb napisano na tablicy?
A) 21 B) 24 C) 23 D) 22

Zadanie 14
(1 pkt)

Wartość wyrażenia sin 5α + 2 sin3 αco s2α + sinα cos4 α jest równa
A) sin α B) sin2 α C) c os2α D) co sα

Zadanie 15
(1 pkt)

Bok AB czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu oraz |∡C | = 1 20∘ .

PIC

Zatem kąt α ma miarę
A) 50∘ B) 3 0∘ C) 45∘ D) 60∘

Zadanie 16
(1 pkt)

Równanie x − 1 = x2+2x−3- x+3
A) ma rozwiązania ujemne
B) jest sprzeczne
C) ma mniej niż 5 rozwiązań
D) spełnia każda liczba rzeczywista

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkty A = (− 4,6) i C = (6,8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Pole tego kwadratu jest równe
A) 104 B) 4 C) 52 D) 26

Zadanie 18
(1 pkt)

Dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta mają współrzędne A = (6,10) i C = (− 8,− 4) . Środek okręgu opisanego na tym prostokącie leży na prostej
A) x − y = 4 B) y − x = 4 C) y − x = 3 D) x− y = 3

Zadanie 19
(1 pkt)

Do okręgu o środku S = (− 1,2) i promieniu r = 10 należy punkt o współrzędnych
A) D = (6,7) B) B = (7,6) C) C = (5,10) D) A = (2,3)

Zadanie 20
(1 pkt)

Która z podanych liczb nie może być liczbą krawędzi graniastosłupa?
A) 13629 B) 17023 C) 37035 D) 26919

Zadanie 21
(1 pkt)

Objętość kuli stycznej do wszystkich ścian sześcianu o krawędzi długości 6 jest równa
A) 36π B) 288π C) 5 4π D) 108π

Zadanie 22
(1 pkt)

Losujemy jedną liczbę trzycyfrową. Prawdopodobieństwo p otrzymania liczby, której cyfry to 1,2,3 (w dowolnej kolejności) spełnia warunek
A) p = 10−3 B) p = 10− 2 C) p < 10−3 D) p < 10− 2

Zadanie 23
(1 pkt)

Liczba ------------- ------------- ------------- ∘4 √ -- √ --4 4∘ √ -- √ --4 3∘ √ -- √ --3 ( 3− 2) + ( 2− 5) + ( 3 − 5) jest równa
A) √ -- √ -- 2 5 − 2 2 B) √ -- √ -- 2 5− 2 3 C) √ -- √ -- 2 3 − 2 5 D) √ -- √ -- 2 3− 2 2

Zadanie 24
(1 pkt)

Mediana danych zawartych w tabeli liczebności jest równa 3.

Wartość 12 3 456
Liczebność34x 126

Zatem x może być równe
A) 3 B) 1 C) 2 D) 0

Zadanie 25
(1 pkt)

Prostopadłościan dzielimy na części prowadząc dwie płaszczyzny równoległe do jego podstaw, które dzielą krawędź boczną w stosunku 5:1:2. Jaki procent objętości całego prostopadłościanu stanowi objętość najmniejszej z utworzonych części?
A) 12,5% B) 17% C) 15% D) 25%

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Wyznacz punkty wspólne okręgu (x − 4)2 + (y + 3)2 = 4 oraz prostej y = −x − 1 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Posługując się wzorem tg (α− β) = 1t+gαtg−tαgtgββ oblicz tg 15∘ .

Zadanie 28
(2 pkt)

Udowodnij, że jeżeli ab < 0 to a + b ≤ −2 b a .

Zadanie 29
(2 pkt)

Wiadomo, że funkcja liniowa y = f(x) przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x < − 3 . Ponadto, f(x) < − 1 wtedy i tylko wtedy, gdy x > 1 . Wyznacz wzór funkcji f .

Zadanie 30
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 3x + (3x + 1)+ ⋅⋅⋅+ (3x + 9 9) < 2010 , gdzie lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Zadanie 31
(2 pkt)

Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.

PIC

Wykaż, że punkty A ,E i F są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Zadanie 32
(4 pkt)

W prostokącie ABCD , w którym |BC | = 8 połączono wierzchołek A z punktem E leżącym na boku DC . Odcinek ten przeciął przekątną BD w punkcie F .

PIC

Wiedząc, że odległość punktu F od boku AD jest równa 4, oraz że |AE | = 10 oblicz długość boku AB prostokąta.

Zadanie 33
(4 pkt)

Na prostej y = − 3x + 2 wyznacz punkt, którego suma kwadratów odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza.

Zadanie 34
(5 pkt)

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 1, a przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą kąt o mierze 30 ∘ .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania