/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2014

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 12 kwietnia 2014 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Dla jakich wartości parametru k równanie 2 |x + 5|+ k − 4k− 26 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków?

Zadanie 2
(4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu 5 4 3 2 P(x ) = 3x − 5x + ax + bx + cx + d przez wielomian 4 3 2 Q (x) = −3x + 2x + 8x jest taka sama jak reszta z dzielenia wielomianu Q (x) przez wielomian R(x ) = 3x2 − 2x + 1 . Oblicz wartości współczynników a,b,c i d .

Zadanie 3
(3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że czworokąt MQNP jest równoległobokiem.

Zadanie 4
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie 2 2 x + (m + 2)x − m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1 i x2 takie, że x13+ x 32 ≤ 0 .

Zadanie 5
(5 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |BC | = 28, |CA | = 21 . Na boku AB wybrano punkt D tak, że pole trójkąta ADC jest równe 126. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD .

Zadanie 6
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 3 sinx tgx = 2√ 3-sin x + 3co sx w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 7
(3 pkt)

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o polu S .

Zadanie 8
(4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 8.

Zadanie 9
(4 pkt)

Wyznacz wartość parametru m , dla której odległość punktu 2 P = (m ,3m − 1 ) od prostej y = x+ 2 jest najmniejsza możliwa.

Zadanie 10
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AB | = |AC | = 7 , |BC | = 6 . Krawędzie boczne mają długości: |DA | = 7 , |DB | = |DC | = 5 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 11
(6 pkt)

Ciąg (an) , gdzie n ∈ N + , określony jest następująco:

( |{ a1 = 2 a2 = k |( an+2= 3a dla n ≥ 1. 3 n
  • Wyznacz wartość k , jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, w którym suma sześciu początkowych wyrazów jest równa − 3 64 .
  • Oblicz, dla jakiej liczby n suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 9842.

Zadanie 12
(4 pkt)

O zdarzeniach A i B wiadomo, że P(B ) = 0,5 ; ′ P(A ∪ B ) = 0,7 ; ′ P (A ∖ B ) = 0,4 . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A ∪ B .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania