/Szkoła średnia/Kombinatoryka/Symbol Newtona

Zadanie nr 8636705

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie liczby naturalne n spełniające równanie

(n + 8) (n + 6) = 6⋅ . n+ 3 n + 2

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów

(n ) ( n ) = ( k) n − k n n (n− 1)(n − 2) ⋅⋅⋅(n − k+ 1) = -------------------------------. k k!

Mamy zatem

(n + 8 ) (n + 6) = 6⋅ (n + 3 ) ( n + 2) n + 8 n + 6 5 = 6⋅ 4 (n-+-8)(n-+-7)(n-+--6)(n+--5)(n-+-4)-= 6⋅ (n-+-6)(n+--5)(n-+-4)(n-+-3) . 5! 4!

Skracamy teraz obie strony przez (n+6)(n+5)(n+-4) 4! i otrzymujemy:

(n + 8)(n + 7) ---------------= 6(n + 3) / ⋅5 5 (n + 8)(n + 7) = 30(n + 3) 2 n + 15n + 5 6 = 30n + 90 n2 − 15n − 3 4 = 0 2 Δ = 225 + 136 = 361 = 19 15− 19 15 + 1 9 n = --------= − 2 ∨ n = -------- = 17. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy n = 17 .  
Odpowiedź: n = 17

Wersja PDF