/Szkoła średnia/Funkcje

Zadanie nr 1322775

Wyznacz dziedzinę funkcji ----√3−2x---- f(x ) = 2x3−5x2−8x+20 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na pierwiastek w liczniku musi być

3 3 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ -. 2

Musimy z tego zbioru wyrzucić jeszcze miejsca zerowe mianownika.

Sposób I

Rozkładamy wielomian w mianowniku grupując wyrazy.

2x3 − 5x 2 − 8x + 20 = x2(2x − 5 )− 4(2x − 5) = (x2 − 4)(2x − 5) = ( ) 5- = 2(x − 2 )(x + 2) x− 2 .

Zatem miejscami zerowymi mianownika są liczby 5 − 2,2,2 i dziedziną funkcji jest zbiór

( ⟩ (− ∞ ,− 2) ∪ − 2, 3- 2

Sposób II

Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego łatwo znaleźć pierwiastek x = 2 . Dzielimy ten wielomian przez (x − 2 ) . My zrobimy to grupując wyrazy.

2x3 − 5x2 − 8x + 20 = (2x3 − 4x2) − (x2 − 2x) − (10x − 2 0) = 2 = (x − 2)(2x − x − 10 ).

Dalej Δ = 1+ 8 0 = 81 = 9 2 , x = − 2 lub x = 5 2 . Zatem miejsca zerowe mianownika to liczby 5 − 2,2,2 i dziedziną funkcji f jest zbiór (− ∞ ,− 2) ∪ (− 2, 32⟩ .  
Odpowiedź: (− ∞ ,− 2) ∪ (− 2, 3⟩ 2

Wersja PDF