Zadanie nr 1342746
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Rozwiązanie
Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1. Mamy więc
![x − 1 ------> 0 ⇐ ⇒ (x − 1 )(x + 3) > 0 ⇐ ⇒ x ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (1,+ ∞ ) x + 3 x-−-1-⁄= 1 ⇐ ⇒ x−--1-− 1 ⁄= 0 ⇐ ⇒ -−-4--⁄= 0. x + 3 x+ 3 x + 3](https://img.zadania.info/zad/1342746/HzadR0x.gif)
Dodatkowo, wyrażenie które logarytmujemy musi być dodatnie. Aby ustalić, kiedy tak jest, rozkładamy wielomian
![3 2 x − x − 8x + 1 2](https://img.zadania.info/zad/1342746/HzadR1x.gif)
na czynniki. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego. Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy więc wielomian przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.
![x3 − x2 − 8x + 12 = x3 − 2x2 + x2 − 2x − 6x + 12 = 2 2 = x (x − 2 )+ x (x− 2)− 6(x− 2) = (x − 2)(x + x − 6).](https://img.zadania.info/zad/1342746/HzadR4x.gif)
Rozkładamy teraz trójmian w drugim nawiasie.
![2 x + x− 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25 − 1 − 5 − 1 + 5 x = ------- = − 3 lub x = ------- = 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/1342746/HzadR5x.gif)
Zatem
![2 x + x − 6 = (x + 3)(x− 2)](https://img.zadania.info/zad/1342746/HzadR6x.gif)
i
![3 2 2 x − x − 8x + 12 = (x − 2 )(x + 3).](https://img.zadania.info/zad/1342746/HzadR7x.gif)
Wyrażenie to jest dodatnie, gdy . W połączeniu z wcześniej otrzymanymi nierównościami oznacza to, że dziedziną funkcji
jest zbiór
![(1,2)∪ (2,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/1342746/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: