Zadanie nr 1484113

Wyznacz zbiór wartości funkcji 2 f(x) = 5 − 2 sin x dla x ∈ R .

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ 2 0 ≤ sin x ≤ 1 mamy nierówności

0 ≤ sin 2x ≤ 1 / ⋅(− 2) 0 ≥ − 2sin2x ≥ − 2 / + 5 2 5 ≥ 5− 2sin x ≥ 3

Sposób II

Korzystając ze wzoru

2 cos2x = 1 − 2 sin x

możemy zamienić sin2 x na cos 2x . Dzięki temu nie będzie kwadratu.

5 − 2sin2 x 5 − (1 − cos 2x) 4 + cos 2x

Korzystając teraz z nierówności − 1 ≤ cos2x ≤ 1 otrzymujemy tę samą odpowiedź co poprzednio.

Sposób III

Pierwszy sposób rozwiązania możemy też zapisać używając podstawienia. Podstawiamy 2 t = sin x . Wtedy t ∈ ⟨0,1⟩ i szukamy zbioru wartości funkcji liniowej f(t) = 5 − 2t . Funkcja ta jest malejąca, więc jej zbiór wartości to przedział