Zadanie nr 1581087
Dany jest wielomian . Wyznacz wszystkie wartości parametrów
dla których reszta z dzielenia wielomianu
przez wielomian
jest równa
.
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że
![2 P(x) = (x − 1)(x− 2) = (x − 1)(x + 1)(x − 2 ).](https://img.zadania.info/zad/1581087/HzadR0x.gif)
Podana reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian
oznacza, że
![W (x) = P(x)Q (x) + x − 4 x5 − x4 + nx 3 + kx + m = (x − 1)(x+ 1)(x− 2)Q (x)+ x − 4,](https://img.zadania.info/zad/1581087/HzadR3x.gif)
dla pewnego wielomianu . Podstawiamy teraz w tej równości kolejno
,
i
. Otrzymujemy układ równań
![( | − 2 − n − k + m = − 5 { | n + k + m = − 3 ( 16 + 8n + 2k+ m = − 2 ( |{ n + k − m = 3 n + k + m = − 3 |( 8n + 2k + m = −1 8](https://img.zadania.info/zad/1581087/HzadR8x.gif)
Dodajemy do drugiego trzeciego równania pierwsze (żeby skrócić ) i mamy
![{ 2n + 2k = 0 / : 2 9n + 3k = − 15 / : 3 { n + k = 0 3n + k = −5 .](https://img.zadania.info/zad/1581087/HzadR10x.gif)
Odejmujemy teraz od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) i mamy
![2n = − 5 ⇒ n = − 5. 2](https://img.zadania.info/zad/1581087/HzadR12x.gif)
Stąd i
![m = n + k− 3 = − 3.](https://img.zadania.info/zad/1581087/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: