Zadanie nr 2094719

Funkcja kwadratowa 2 f(x ) = x + ax + b ma dwa miejsca zerowe, które różnią się o 7. Wykres funkcji przechodzi przez punkt ( ) A = 1,− 10 3 . Oblicz najmniejszą wartość funkcji .

Rozwiązanie

Sposób I

Trójmian o pierwiastkach i x2 = x1 + 7 ma postać iloczynową

y = (x − x1)(x − x2) = (x − x1)(x− x1 − 7).

Podstawiamy współrzędne punktu i wyznaczamy

( 1 ) ( 1 ) − 10 = --− x1 -− x1 − 7 / ⋅(− 9) 3 3 90 = (1 − 3x 1)(−1 + 3x 1 + 2 1) = (1 − 3x1)(20 + 3x 1) 2 90 = 20 + 3x 1 − 60x1 − 9x1 9x2 + 57x + 70 = 0 1 1 Δ = 3249 − 2520 = 729 = 27 2 x1 = −-57-−-2-7 = − 84-= − 14- lub x 1 = −-57-+-27-= − 30-= − 5- 18 18 3 18 18 3

Wtedy x2 = x1 + 7 = 7 3 i x2 = x 1 + 7 = 16 3 odpowiednio Zatem trójmian ma postać iloczynową

( ) ( ) ( ) ( ) 14- 7- 5- 16- f(x) = x + 3 x − 3 lub f(x) = x + 3 x− 3 .

W obu przypadkach wykresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest odpowiednio równa

x-1 +-x-2 −-143-+-73- 7- x-1 +-x-2 −-53-+-163- 11- xw = 2 = 2 = − 6 lub xw = 2 = 2 = 6

(wierzchołek zawsze znajduje się w środku pomiędzy pierwiastkami). W pierwszym przypadku najmniejsza wartość funkcji to

( ) ( ) ( ) f − 7- = − 7-+ 14- − 7-− 7- = − 7-⋅ 7-= − 49-. 6 6 3 6 3 2 2 4

W drugim przypadku najmniejsza wartość funkcji to

( ) ( ) ( ) f 11- = 11-+ 5- 11-− 1-6 = − 7-⋅ 7-= − 49. 6 6 3 6 3 2 2 4

Na koniec wykresy obu funkcji.

Sposób II

Niech (p ,q) będzie wierzchołkiem paraboli będącej wykresem danej funkcji kwadratowej. Ponieważ pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli znajduje się w środku między pierwiastkami, miejscami zerowymi funkcji są liczby x1 = p− 7 2 i x2 = p + 7 2 . Stąd na mocy wzorów Viète’a