Zadanie nr 2454938

Wyznacz zbiór wartości funkcji 1 2 f(x) = 2 sin2x + cos x , gdzie x ∈ R .

Rozwiązanie

Skorzystamy najpierw ze wzoru na cosinus podwojonego kąta

2 co s2α = 2cos α− 1.

To pozwala nam przekształcić wzór funkcji tak, aby obie funkcje trygonometryczne miały ten sam argument.

1 1 1 f(x ) = --sin 2x + co s2x = -sin 2x+ -(1 + co s2x) = 2 2 2 1- 1- = 2 + 2 (sin 2x + co s2x).

Dalszą część rozwiązania przeprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Będziemy przekształcać wzór funkcji tak, aby móc skorzystać ze wzoru na sumę sinusów.

sin α+ sin β) = 2sin α+--β-cos α-−-β. 2 2

Przekształcamy

1 1 1 1 ( ( π ) ) f (x) = --+ -(sin2x + cos2x ) = --+ -- sin 2x + sin --− 2x = 2 2 π- 2 2 π- 2 = 1-+ 1⋅ 2sin 2x-+-2-−-2x-co s 2x-−-2-+-2x-= 2 2 2 2 1 π ( π ) 1 √ 2- ( π ) = --+ sin --co s 2x − -- = --+ ----cos 2x − -- . 2 4 4 2 2 4

Ponieważ zbiorem wartości wyrażenia ( ) cos 2x − π4- jest przedział ⟨− 1,1 ⟩ , to zbiorem wartości funkcji jest przedział

√ -- ⟨ √ -- √ -⟩ ⟨ √ -- √ -⟩ 1 2 1 2 2 1 − 2 1 + 2 --+ ----⋅⟨− 1,1 ⟩ = --+ − ----,---- = --------,-------- . 2 2 2 2 2 2 2

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na sinus sumy

sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α.

Mamy zatem

( √ -- √ -- ) f(x ) = 1-+ 1-(sin 2x + cos 2x) = 1+ √1--⋅ --2-sin2x + --2-cos2x = 2 2 2 2 2 2 ( ) = 1-+ √1--⋅ cos π-sin2x + sin π-co s2x = 2 2 4 4 √ -- ( ) = 1-+ --2-sin 2x + π- . 2 2 4

Podobnie jak w poprzednim sposobie, wnioskujemy stąd, że zbiorem wartości funkcji jest

⟨ -- --⟩ 1− √ 2 1 + √ 2 -------,-------- . 2 2

Odpowiedź: ⟨ √ - √-⟩ 1−--2, 1+-2 2 2