Zadanie nr 3915311
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Rozwiązanie
Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1. Mamy więc
![x + 1 ------> 0 ⇐ ⇒ (x + 1)(x + 3) > 0 ⇐ ⇒ x ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (−1 ,+∞ ) x + 3 x-+-1-⁄= 1 ⇐ ⇒ x-+-1-− 1 ⁄= 0 ⇐ ⇒ -−-2--⁄= 0. x + 3 x + 3 x+ 3](https://img.zadania.info/zad/3915311/HzadR0x.gif)
Dodatkowo, wyrażenie które logarytmujemy musi być dodatnie. Aby ustalić, kiedy tak jest, rozkładamy wielomian
![3 x − 3x + 2](https://img.zadania.info/zad/3915311/HzadR1x.gif)
na czynniki. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego. Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy więc wielomian przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.
![x3 − 3x + 2 = x3 − x2 + x2 − x− 2x+ 2 = 2 2 = x (x − 1 )+ x (x− 1)− 2(x− 1) = (x − 1)(x + x − 2).](https://img.zadania.info/zad/3915311/HzadR4x.gif)
Rozkładamy teraz trójmian w drugim nawiasie.
![2 x + x− 2 = 0 Δ = 1 + 8 = 9 − 1 − 3 − 1 + 3 x = ------- = − 2 lub x = ------- = 1. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3915311/HzadR5x.gif)
Zatem
![2 x + x − 2 = (x + 2)(x− 1)](https://img.zadania.info/zad/3915311/HzadR6x.gif)
i
![3 2 x − 3x + 2 = (x − 1) (x + 2 ).](https://img.zadania.info/zad/3915311/HzadR7x.gif)
Wyrażenie to jest dodatnie, gdy . W połączeniu z wcześniej otrzymanymi nierównościami oznacza to, że dziedziną funkcji
jest zbiór
![(− 1,1)∪ (1 ,+∞ ).](https://img.zadania.info/zad/3915311/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: