Zadanie nr 4301143

Wyznacz zbiór wartości funkcji 2 2 f(x) = 4− 3cos 2x+ 2sin 2x dla x ∈ R .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

2 2 2 2 2 f(x) = 4− 3 cos 2x + 2 sin 2x = 4− 3 cos 2x + 2 (1 − cos 2x) = 6 − 5 cos 2x.

Sposób I

Ponieważ 0 ≤ cos22x ≤ 1 mamy nierówności

2 0 ≤ cos 2x ≤ 1 / ⋅ (−5 ) 0 ≥ − 5co s22x ≥ − 5 / + 6 6 ≥ 6 − 5co s22x ≥ 1

Sposób II

Korzystając ze wzoru

cos2α = 2co s2α − 1

możemy zamienić 2 co s 2x na cos4x . Dzięki temu nie będzie kwadratu.

6 − 5 cos22x 6 − 5-(1+ cos4x ) 2 7 5 2-− 2-cos4x

Korzystając teraz z nierówności − 1 ≤ cos4x ≤ 1 otrzymujemy tę samą odpowiedź co poprzednio.

Sposób III

Pierwszy sposób rozwiązania możemy też zapisać używając podstawienia. Podstawiamy t = cos22x . Wtedy t ∈ ⟨0,1⟩ i szukamy zbioru wartości funkcji liniowej f(t) = 6 − 5t . Funkcja ta jest malejąca, więc jej zbiór wartości to przedział