Zadanie nr 4301143
Wyznacz zbiór wartości funkcji dla
.
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że
![2 2 2 2 2 f(x) = 4− 3 cos 2x + 2 sin 2x = 4− 3 cos 2x + 2 (1 − cos 2x) = 6 − 5 cos 2x.](https://img.zadania.info/zad/4301143/HzadR0x.gif)
Sposób I
Ponieważ mamy nierówności
![2 0 ≤ cos 2x ≤ 1 / ⋅ (−5 ) 0 ≥ − 5co s22x ≥ − 5 / + 6 6 ≥ 6 − 5co s22x ≥ 1](https://img.zadania.info/zad/4301143/HzadR2x.gif)
Sposób II
Korzystając ze wzoru
![cos2α = 2co s2α − 1](https://img.zadania.info/zad/4301143/HzadR3x.gif)
możemy zamienić na
. Dzięki temu nie będzie kwadratu.
![6 − 5 cos22x 6 − 5-(1+ cos4x ) 2 7 5 2-− 2-cos4x](https://img.zadania.info/zad/4301143/HzadR6x.gif)
Korzystając teraz z nierówności otrzymujemy tę samą odpowiedź co poprzednio.
Sposób III
Pierwszy sposób rozwiązania możemy też zapisać używając podstawienia. Podstawiamy . Wtedy
i szukamy zbioru wartości funkcji liniowej
. Funkcja ta jest malejąca, więc jej zbiór wartości to przedział
![⟨f(1),f(0)⟩ = ⟨1,6⟩.](https://img.zadania.info/zad/4301143/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: