Zadanie nr 4726522

Wiedząc, że jest kątem ostrym i tgα + tg1α-= 4 , oblicz ( ) 2 tg2α + t1gα .

Rozwiązanie

Sposób I

Podnosimy daną równość stronami do kwadratu.

( ) 2 tg α+ -1-- = 16 tgα ( )2 tg 2α + 2 tg α ⋅-1--+ -1-- = 1 6 tgα tg α ( ) 2 tg 2α + 2 + -1-- = 16 tgα ( ) 2 tg 2α + -1-- = 14. tgα

Sposób II

Przekształćmy daną równość

sin α cosα -----+ ----- = 4 cosα2 sinα sin--α-+-cos2-α- cosα sinα = 4 1 ----------= 4 cosα sinα cosα sinα = 1-. 4

Teraz przekształćmy wyrażenie, które mamy obliczyć

2 2 4 4 -sin--α + c-os-α = sin-α-+-co-s-α-= co s2α sin 2α cos2 αsin2 α 2 2 2 2 2 1 − 1 7 = (sin--α-+-cos-α-)-−-2-sin-α-cos--α-= -----8 = -8-= 14. co s2α sin2 α 116 116-

Sposób III

Podstawmy t = tg α . Mamy wtedy

1 t+ --= 4 / ⋅t 2 t t + 1 = 4t 2 t − 4t+ 1 = 0 √ -- Δ = 16 − 4 = 12 = (2 3)2 √ -- √ -- 4-−-2--3- √ -- 4-+-2---3 √ -- t = 2 = 2 − 3 ∨ t = 2 = 2 + 3.

Mamy więc

( )2 2 -1-- 2 -1 tg α+ tg α = t + t2 = ( ) 2 √ --2 ---1---- √ --2 √ --2 = (2 − 3) + 2− √ 3- = (2 − 3) + (2 + 3)

lub

1 √ -- ( 1 ) 2 √ -- √ -- t2 + -2 = (2 + 3)2 + ----√--- = (2 + 3)2 + (2 − 3)2. t 2 + 3

W każdym z przypadków mamy ten sam wynik

√ -- √ -- √ -- √ -- (2 − 3)2 + (2 + 3)2 = 4 − 4 3 + 3 + 4 + 4 3 + 3 = 14.

Odpowiedź: 14