Zadanie nr 8124954

Wykaż, że

2 3π-- -1−--cos--5---= tg2 π-. (cos 35π− 1)2 5

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów

sin 2α = 2sin αco sα cos2α = 1− 2sin2 α.

Przekształcamy lewą stronę tożsamości, którą mamy udowodnić

2 3π- 2 3π ( 3π- 3π-)2 2 3π 2 3π- -1-−-cos--5---= ---sin---5-----= (--2sin-10 co-s10-)- = 4-sin--10 cos-10 = (cos 35π-− 1)2 (cos 3π5-− 1)2 1 − 2 sin2 3π-− 1 2 4 sin 4 31π0 10 cos2-3π10- ---1-- ------1------ --1-- 2 π- = sin 2 3π = tg2 3π-= tg2( π-− 2π-) = -1-- = tg 5 10 10 2 10 tg2 π5

Sposób II

Przekształcamy tożsamość w sposób równoważny.

-1−--cos2-3π5--- 2 π- (cos 3π-− 1)2 = tg 5 5 (1− cos 3π5-)(1+ cos 3π5-) sin 2 π5 ----------3π-----2-------= co-s2 π (cos 5 − 1) 5 1+ cos 3π sin 2 π -------35π--= ----25 π- 1− cos 5 co s 5 2 π 3π 2 π 2 π 3π 2 π cos -5 + cos -5-co s 5- = sin 5-− co s-5- sin 5- π π 3 π ( π π ) cos2 --− sin 2-- = − cos--- sin2 --+ co s2-- . 5 5 5 5 5

Korzystamy teraz z jedynki trygonometrycznej i wzoru

2 2 cos 2α = cos α− sin α.

Mamy zatem

2π 3π co s--- = − cos --- 5 5

Ta równość jest oczywiście prawdziwa, bo

( ) cos 2π- = cos π − 3π- = − co s 3π-. 5 5 5