Zadanie nr 9505802

Wyznacz zbiór wartości funkcji: f (x) = 2sin x + cos2x , gdzie x ∈ R .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

2 cos2α = 1− 2sin α.

Mamy więc

2 2 f (x) = 2sin x + cos 2x = 2 sin x + 1 − 2sin x = − 2 sin x + 2 sin x + 1.

Jeżeli podstawimy teraz t = sin x to mamy zwykłą funkcję kwadratową

g (t) = −2t2 + 2t + 1.

Musimy teraz zbadać jakie ona przyjmuje wartości na przedziale ⟨− 1,1⟩ (bo takie wartości przyjmuje t = sinx ). Sprawdźmy najpierw gdzie jest wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(t) .

−b 1 tw = ----= -. 2a 2

Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w dół, oraz punkt ten jest w interesującym nas przedziale, dokładnie w tym punkcie otrzymamy największą wartość funkcji i jest ona równa