Zadanie nr 9665840

Dla jakich wartości parametru dziedziną funkcji -----3x2−4mx+-5----- f(x ) = (m+2)x4+6(m+ 2)x2+m 2 jest zbiór liczb rzeczywistych?

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić dla jakich mianownik nie ma miejsc zerowych. Jeżeli m = − 2 , to w mianowniku mamy 4 i jest OK. Jeżeli m ⁄= − 2 to mamy w mianowniku funkcję dwukwadratową. Podstawiając x 2 = t mamy trójmian

f(t) = (m + 2 )t2 + 6(m + 2)t+ m2

i musimy sprawdzić kiedy f (t) ⁄= 0 dla t ∈ ⟨0,+ ∞ ) (bo takie wartości przyjmuje 2 t = x ).

Zauważmy, że f(0) = m 2 ≥ 0 , zatem gdyby współczynnik przy był ujemny, to funkcja musiałaby mieć nieujemny pierwiastek i byłoby źle. Zatem musi być

m + 2 > 0 ⇒ m > − 2.

Zauważmy ponadto, że wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną równą

b tw = − 2a-= − 3.

W połączeniu z warunkiem f(0 ) = m 2 oznacza to, że f(t) > 0 dla t ≥ 0 o ile tylko m ⁄= 0 (funkcja rośnie na prawo od -3, jeżeli więc f(0) > 0 , to taka sama nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb dodatnich).
Odpowiedź: m ∈ ⟨− 2,0) ∪ (0,+ ∞ )