/Szkoła średnia/Funkcje

Zadanie nr 9768045

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = 2x + ax + bx + c . Rozwiązaniem nierówności W (x) > 0 jest zbiór ( ) − 1,− 1 ∪ (3 ,+∞ ) 2 . Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian 3− 2x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli rozwiązaniem nierówności W (x ) > 0 jest zbiór ( 1) − 1,− 2 ∪ (3,+ ∞ ) , to miejscami zerowymi wielomianu W muszą być liczby: − 1,− 1,3 2 . Mamy zatem

(| 0 = − 2+ a− b+ c { 0 = − 14 + 14a − 12b + c / ⋅4 |( 0 = 54 + 9a + 3b + c

Podstawiamy c = 2 − a + b z pierwszego równania do pozostałych dwóch i mamy

{ 0 = −1 + a − 2b + 4c = − 1+ a − 2b + 4 (2− a+ b ) 0 = 54+ 9a+ 3b+ c = 54 + 9a + 3b + (2 − a + b). { 0 = 7− 3a + 2b { 0 = 56+ 8a+ 4b / : 4 0 = 7− 3a + 2b 0 = 14+ 2a+ b

Podstawiamy teraz b = − 14 − 2a z drugiego równania do pierwszego i mamy

0 = 7 − 3a + 2(− 14 − 2a ) = − 21− 7a ⇐ ⇒ a = − 3 .

Stąd

b = − 14− 2a = − 14 + 6 = − 8

i

c = 2 − a + b = 2 + 3 − 8 = − 3.

Mamy zatem

3 2 3 2 W (x ) = 2x + ax + bx + c = 2x − 3x − 8x − 3.

Pozostało wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian

( ) 3 − 2x = − 2 x − 3- . 2

Łatwo jest wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian ( ) x− 3 2 – jest to po prostu

( ) 3- 27- 9- 3- 27-−-27-−-4-8−-1-2 60- W 2 = 2 ⋅ 8 − 3 ⋅4 − 8⋅2 − 3 = 4 = − 4 = − 15.

W takim razie

( ) W (x) = x − 3- Q (x)− 15 = (3 − 2x )⋅ Q-(x)-− 1 5, 2 − 2

dla pewnego wielomianu Q (x) . W takim razie reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (3 − 2x) też jest równa − 1 5 .  
Odpowiedź: − 15

Wersja PDF