Zadanie nr 9769019
Kąt jest ostry i
. Oblicz
.
Rozwiązanie
Sposób I
Ponieważ mamy podany tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez .
![sin-α cosα sin-α-−-co-sα-= cosα −-cosα-= tg-α-−-1 = 2−--1-= 1-. sin α + co sα sin-α+ cosα tg α + 1 2+ 1 3 cosα cosα](https://img.zadania.info/zad/9769019/HzadR1x.gif)
Sposób II
Zauważmy, że
![2 = tg α = -sin-α ⇒ sinα = 2co sα. co sα](https://img.zadania.info/zad/9769019/HzadR2x.gif)
Zatem
![sinα-−-co-sα-= 2co-sα-−-cos-α-= 2−--1-= 1-. sinα + co sα 2co sα + cos α 2+ 1 3](https://img.zadania.info/zad/9769019/HzadR3x.gif)
Sposób III
Jeżeli zabrakło nam sprytu potrzebnego do poprzednich sposobów, możemy z podanego tangensa wyliczyć i
.
![sinα- 2 = tgα = cosα 2 2 cos α = sinα /() 4 cos2 α = sin2α = 1− cos2α 2 5 cos α = 1 1 cosα = ± √--. 5](https://img.zadania.info/zad/9769019/HzadR6x.gif)
Ponieważ jest kątem ostrym,
. Stąd (ponownie korzystamy z tego, że
jest kątem ostrym)
![∘ ------ ∘ -------2-- 1- -2-- sin α = 1 − cos α = 1 − 5 = √ --. 5](https://img.zadania.info/zad/9769019/HzadR10x.gif)
Możemy teraz obliczyć wartość podanego wyrażenia
![√2-− 1√-- sin-α-−-cos-α-= -5-----5-= 2−--1-= 1-. sin α + cos α √2-+ 1√-- 2+ 1 3 5 5](https://img.zadania.info/zad/9769019/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: