/Szkoła średnia/Funkcje

Zadanie nr 9807564

Wyznacz sin 2x i cos2x jeśli wiadomo że π- x ∈ ( 2;π) i tgx = − 5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro x ∈ ( π;π ) 2 , to wiemy, że sin x > 0 i cos x < 0 . Liczymy więc

sin-x- cosx = − 5 2 sin x = − 5cos x / () sin 2x = 25co s2 x 1 − co s2x = 2 5cos2 x 1 cos2x = --- 26 cosx = − √-1-- 26 ∘ ---------- ∘ ------- sin x = 1 − cos2x = 1 − -1- = √-5--. 2 6 2 6

Możemy teraz policzyć sin 2x i cos2x .

( ) --5-- --1-- 10- 5-- sin2x = 2sin xco sx = 2 ⋅√ 2-6 ⋅ − √ 2-6 = − 26 = − 13 cos 2x = 2 cos2x − 1 = 1--− 1 = − 12. 13 13

Sposób II

Jeżeli ktoś ma akurat pod ręką tablice matematyczne, to może tam znaleźć wzorki

sin 2α = --2tg-α-- 1 + tg2α 2 cos2 α = 1-−-tg-α-. 1 + tg2α

Z tych wzorków mamy od razu rozwiązanie

sin2 α = -−-10--= −-10-= −-5- 1 + 25 26 13 1− 2 5 − 24 − 12 cos 2α = -------= -----= -----. 1+ 2 5 26 13

 
Odpowiedź: 5 12 sin 2x = − 13-,co s2x = − 13

Wersja PDF