Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji y=x^2 dla xϵ<0,1>... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 1844851

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Zadanie nr 1844851

Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji $2 y = x$ dla $x ∈ ⟨0,1⟩$ i osią $Ox$ możemy obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę $n$ prostokątów o szerokości $1n$ każdy (patrz rysunek) i sumując ich pola.

Przedstaw ilustrację graﬁczną takiej sytuacji dla $n = 4$ i oblicz sumę pól otrzymanych prostokątów.
Oblicz sumę $S n$ pól $n$ prostokątów, wykorzystując wzór: $n(n + 1)(2n + 1 ) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = -----------------. 6$

Rozwiązanie

Prostokąty zaznaczone są na rysunku.

Każdy z nich ma poziomy bok długości $14$ , zatem suma ich pól wynosi
$( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1- 1- + 1- 2- + 1- 3- + 1- 4- = 15. 4 4 4 4 4 4 4 4 32$

Odpowiedź: $15 32$
Analogicznie jak w poprzednim punkcie, jeżeli będzie $n$ prostokątów, to ich pole będzie równe $( )2 ( )2 ( ) 2 ( ) 2 1- 1- + 1- 2- + -1 3- + ... + 1- n- = n n n n n n n n 1 ( ) (n + 1)(2n + 1) = --3 12 + 2 2 + 3 2 + ...+ n2 = --------2-------. n 6n$
Na końcu skorzystaliśmy ze wzoru podanego w treści zadania.
Odpowiedź: $(n+1)(2n+-1) 6n2$