/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Zadanie nr 1844851

Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji 2 y = x dla x ∈ ⟨0,1⟩ i osią Ox możemy obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę n prostokątów o szerokości 1n każdy (patrz rysunek) i sumując ich pola.

PIC

  • Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla n = 4 i oblicz sumę pól otrzymanych prostokątów.
    PIC
  • Oblicz sumę S n pól n prostokątów, wykorzystując wzór:
    n(n + 1)(2n + 1 ) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = -----------------. 6
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Prostokąty zaznaczone są na rysunku.
    PIC

    Każdy z nich ma poziomy bok długości 14 , zatem suma ich pól wynosi

    ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1- 1- + 1- 2- + 1- 3- + 1- 4- = 15. 4 4 4 4 4 4 4 4 32

     
    Odpowiedź: 15 32

  • Analogicznie jak w poprzednim punkcie, jeżeli będzie n prostokątów, to ich pole będzie równe
    ( )2 ( )2 ( ) 2 ( ) 2 1- 1- + 1- 2- + -1 3- + ... + 1- n- = n n n n n n n n 1 ( ) (n + 1)(2n + 1) = --3 12 + 2 2 + 3 2 + ...+ n2 = --------2-------. n 6n

    Na końcu skorzystaliśmy ze wzoru podanego w treści zadania.  
    Odpowiedź: (n+1)(2n+-1) 6n2

Wersja PDF