/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Zadanie nr 5329338

Funkcja kwadratowa f , której miejscami zerowymi są liczby − 5 i 7, dla argumentu 1 przyjmuje wartość − 3 . Uzasadnij, że wykres funkcji f ma dwa punkty wspólne z prostą y = − 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wykresem funkcji f jest parabola. Wierzchołek tej paraboli leży dokładnie w środku między pierwiastkami, więc jego pierwsza współrzędna jest równa

x = −-5+--7 = 1. w 2

Druga współrzędna jest więc równa

f(xw ) = f(1) = − 3 .

Ponieważ wierzchołek leży poniżej osi Ox i wiemy, że parabola przecina tę oś, więc parabola ta ma ramiona skierowane w górę.

PIC

Ponadto − 3 < − 2 , więc rzeczywiście parabola y = f(x) przecina prostą y = − 2 w dwóch punktach.

Sposób II

Z podanych miejsc zerowych wiemy, że funkcja f ma postać

f(x ) = a(x + 5)(x − 7).

Współczynnik a wyznaczamy z warunku f (1) = − 3 .

− 3 = a(1+ 5)(1 − 7) = − 36a / : (− 36) 1--= a. 12

Zatem f(x) = 112(x+ 5)(x − 7) .

Wystarczy teraz udowodnić, że równanie f(x ) = − 2 ma dwa rozwiązania.

1-- 12(x + 5)(x − 7 ) = − 2 / ⋅12 x2 − 2x− 35 = − 24 x2 − 2x− 11 = 0 Δ = 4 + 44 = 48 > 0.

Ponieważ Δ > 0 , powyższe równanie rzeczywiście ma dwa rozwiązania.

Wersja PDF