Zadanie nr 5329338
Funkcja kwadratowa , której miejscami zerowymi są liczby
i 7, dla argumentu 1 przyjmuje wartość
. Uzasadnij, że wykres funkcji
ma dwa punkty wspólne z prostą
.
Rozwiązanie
Sposób I
Wykresem funkcji jest parabola. Wierzchołek tej paraboli leży dokładnie w środku między pierwiastkami, więc jego pierwsza współrzędna jest równa
![x = −-5+--7 = 1. w 2](https://img.zadania.info/zad/5329338/HzadR1x.gif)
Druga współrzędna jest więc równa
![f(xw ) = f(1) = − 3 .](https://img.zadania.info/zad/5329338/HzadR2x.gif)
Ponieważ wierzchołek leży poniżej osi i wiemy, że parabola przecina tę oś, więc parabola ta ma ramiona skierowane w górę.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/5329338/HzadR4x.gif)
Ponadto , więc rzeczywiście parabola
przecina prostą
w dwóch punktach.
Sposób II
Z podanych miejsc zerowych wiemy, że funkcja ma postać
![f(x ) = a(x + 5)(x − 7).](https://img.zadania.info/zad/5329338/HzadR9x.gif)
Współczynnik wyznaczamy z warunku
.
![− 3 = a(1+ 5)(1 − 7) = − 36a / : (− 36) 1--= a. 12](https://img.zadania.info/zad/5329338/HzadR12x.gif)
Zatem .
Wystarczy teraz udowodnić, że równanie ma dwa rozwiązania.
![1-- 12(x + 5)(x − 7 ) = − 2 / ⋅12 x2 − 2x− 35 = − 24 x2 − 2x− 11 = 0 Δ = 4 + 44 = 48 > 0.](https://img.zadania.info/zad/5329338/HzadR15x.gif)
Ponieważ , powyższe równanie rzeczywiście ma dwa rozwiązania.