/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Zadanie nr 8012899

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek).

PIC

Funkcje f oraz g są określone wzorami f (x) = x2 oraz ( )2 g(x) = − 1 x− 1 + 4 2 2 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (−1 ,1) . Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji g . Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 1 13 39 593 |PR | = -x 4 − -x3 − ---x2 + ---x+ ----, 4 2 8 8 6 4

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli

( ( ) 2 ) ( ) R = (x,g (x)) = x,− 1- x− 1- + 4 = x,− 1x 2 + 1x + 3-1 , 2 2 2 2 8

to

∘ --------------(-----------------)--- ∘ ----------------------- 1 1 23 2 |PR | = (x + 1)2 + (g(x) − 1)2 = x2 + 2x + 1+ − -x2 + --x+ --- = ∘ ----------------------------------------------2-----2 8 1 1 529 1 23 23 = x2 + 2x + 1 + --x4 + -x 2 + ----− --x3 − --x 2 + --x = ∘ --------------4------4------64-- 2 8 8 1- 4 1-3 13- 2 39- 593- = 4 x − 2x − 8 x + 8 x+ 6 4 .

Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc.
Wersja PDF