Zadanie nr 8012899
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
(zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt
. Niech
będzie punktem leżącym na wykresie funkcji
. Wykaż, że odległość punktu
od punktu
wyraża się wzorem
![∘ -------------------------------- 1 1 13 39 593 |PR | = -x 4 − -x3 − ---x2 + ---x+ ----, 4 2 8 8 6 4](https://img.zadania.info/zad/8012899/HzadT13x.gif)
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Rozwiązanie
Jeżeli
![( ( ) 2 ) ( ) R = (x,g (x)) = x,− 1- x− 1- + 4 = x,− 1x 2 + 1x + 3-1 , 2 2 2 2 8](https://img.zadania.info/zad/8012899/HzadR0x.gif)
to
![∘ --------------(-----------------)--- ∘ ----------------------- 1 1 23 2 |PR | = (x + 1)2 + (g(x) − 1)2 = x2 + 2x + 1+ − -x2 + --x+ --- = ∘ ----------------------------------------------2-----2 8 1 1 529 1 23 23 = x2 + 2x + 1 + --x4 + -x 2 + ----− --x3 − --x 2 + --x = ∘ --------------4------4------64-- 2 8 8 1- 4 1-3 13- 2 39- 593- = 4 x − 2x − 8 x + 8 x+ 6 4 .](https://img.zadania.info/zad/8012899/HzadR1x.gif)
Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
![(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc.](https://img.zadania.info/zad/8012899/HzadR2x.gif)