Zadanie nr 8210550

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f (x) = −x 2 + 8x − 7 dla dowolnej liczby rzeczywistej . Na paraboli y = f(x ) znajdź taki punkt , który leży powyżej osi , i dla którego stosunek jego pierwszej współrzędnej do drugiej jest najmniejszy możliwy.

Rozwiązanie

Każdy punkt danej paraboli ma postać 2 P = (x,f(x )) = (x,−x + 8x − 7) , więc interesuje nas iloraz

x x x g (x) = ----- = --------------= − ------------. f (x) −x 2 + 8x − 7 x 2 − 8x + 7

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji musimy ustalić, kiedy wartości funkcji są dodatnie (bo druga współrzędne punktu ma być dodatnia).

−x 2 + 8x − 7 > 0 / ⋅(− 1) 2 x − 8x + 7 < 0 Δ = 64− 28 = 36 x = 8−--6-= 1 lub x = 8-+-6-= 7 2 2 x ∈ (1,7 ).

Liczymy pochodną funkcji .

′ 2 2 ′ g′(x ) = − x-⋅-(x--−--8x+--7)−--x(x--−-8x-+-7)- = (x 2 − 8x + 7 )2 2 2 = − x--−-8x-+-7-−-x(2x-−--8) = − ---−x---+-7----= (x2 − 8x + 7)2 (x 2 − 8x + 7 )2 2 √ -- √ -- = ----x--−-7-----= (x-−---7)(x-+---7)-. (x2 − 8x + 7)2 (x2 − 8x + 7)2

Widzimy więc, że w przedziale √ -- (1, 7) pochodna jest ujemna i w przedziale √ -- ( 7 ,7) jest dodatnia. To oznacza, że funkcja maleje w przedziale √ -- (1, 7 ] i rośnie w przedziale √ -- [ 7,7) . Najmniejszą wartość funkcji otrzymamy więc dla √ -- x = 7 . Mamy wtedy