Zadanie nr 8210550
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem
dla dowolnej liczby rzeczywistej
. Na paraboli
znajdź taki punkt
, który leży powyżej osi
, i dla którego stosunek jego pierwszej współrzędnej do drugiej jest najmniejszy możliwy.
Rozwiązanie
Każdy punkt danej paraboli ma postać , więc interesuje nas iloraz
![x x x g (x) = ----- = --------------= − ------------. f (x) −x 2 + 8x − 7 x 2 − 8x + 7](https://img.zadania.info/zad/8210550/HzadR1x.png)
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji musimy ustalić, kiedy wartości funkcji
są dodatnie (bo druga współrzędne punktu
ma być dodatnia).
![−x 2 + 8x − 7 > 0 / ⋅(− 1) 2 x − 8x + 7 < 0 Δ = 64− 28 = 36 x = 8−--6-= 1 lub x = 8-+-6-= 7 2 2 x ∈ (1,7 ).](https://img.zadania.info/zad/8210550/HzadR5x.png)
Liczymy pochodną funkcji .
![′ 2 2 ′ g′(x ) = − x-⋅-(x--−--8x+--7)−--x(x--−-8x-+-7)- = (x 2 − 8x + 7 )2 2 2 = − x--−-8x-+-7-−-x(2x-−--8) = − ---−x---+-7----= (x2 − 8x + 7)2 (x 2 − 8x + 7 )2 2 √ -- √ -- = ----x--−-7-----= (x-−---7)(x-+---7)-. (x2 − 8x + 7)2 (x2 − 8x + 7)2](https://img.zadania.info/zad/8210550/HzadR7x.png)
Widzimy więc, że w przedziale pochodna jest ujemna i w przedziale
jest dodatnia. To oznacza, że funkcja
maleje w przedziale
i rośnie w przedziale
. Najmniejszą wartość funkcji
otrzymamy więc dla
. Mamy wtedy
![√ -- √ -- √ -- f( 7) = − 7 + 8 7− 7 = − 14+ 8 7](https://img.zadania.info/zad/8210550/HzadR15x.png)
i
![√ -- √ -- P = ( 7,− 14 + 8 7).](https://img.zadania.info/zad/8210550/HzadR16x.png)
Odpowiedź: