/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Zadanie nr 8210550

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f (x) = −x 2 + 8x − 7 dla dowolnej liczby rzeczywistej x . Na paraboli y = f(x ) znajdź taki punkt P , który leży powyżej osi Ox , i dla którego stosunek jego pierwszej współrzędnej do drugiej jest najmniejszy możliwy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Każdy punkt danej paraboli ma postać  2 P = (x,f(x )) = (x,−x + 8x − 7) , więc interesuje nas iloraz

 x x x g (x) = ----- = --------------= − ------------. f (x) −x 2 + 8x − 7 x 2 − 8x + 7

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji g musimy ustalić, kiedy wartości funkcji f są dodatnie (bo druga współrzędne punktu P ma być dodatnia).

−x 2 + 8x − 7 > 0 / ⋅(− 1) 2 x − 8x + 7 < 0 Δ = 64− 28 = 36 x = 8−--6-= 1 lub x = 8-+-6-= 7 2 2 x ∈ (1,7 ).

Liczymy pochodną funkcji g .

 ′ 2 2 ′ g′(x ) = − x-⋅-(x--−--8x+--7)−--x(x--−-8x-+-7)- = (x 2 − 8x + 7 )2 2 2 = − x--−-8x-+-7-−-x(2x-−--8) = − ---−x---+-7----= (x2 − 8x + 7)2 (x 2 − 8x + 7 )2 2 √ -- √ -- = ----x--−-7-----= (x-−---7)(x-+---7)-. (x2 − 8x + 7)2 (x2 − 8x + 7)2

Widzimy więc, że w przedziale  √ -- (1, 7) pochodna jest ujemna i w przedziale  √ -- ( 7 ,7) jest dodatnia. To oznacza, że funkcja g maleje w przedziale  √ -- (1, 7 ] i rośnie w przedziale  √ -- [ 7,7) . Najmniejszą wartość funkcji g otrzymamy więc dla  √ -- x = 7 . Mamy wtedy

 √ -- √ -- √ -- f( 7) = − 7 + 8 7− 7 = − 14+ 8 7

i

 √ -- √ -- P = ( 7,− 14 + 8 7).

 
Odpowiedź: P = (√ 7,− 14 + 8√ 7)

Wersja PDF
spinner