/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Zadanie nr 8293134

Funkcja kwadratowa f , której miejscami zerowymi są liczby − 4 i 6, dla argumentu 1 przyjmuje wartość 2 12 . Uzasadnij, że wykres funkcji f ma dwa punkty wspólne z prostą y = 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wykresem funkcji f jest parabola. Wierzchołek tej paraboli leży dokładnie w środku między pierwiastkami, więc jego pierwsza współrzędna jest równa

x = −-4+--6 = 1. w 2

Druga współrzędna jest więc równa

f(xw ) = f(1) = 21. 2

Ponieważ wierzchołek leży powyżej osi Ox i wiemy, że parabola przecina tę oś, więc parabola ta ma ramiona skierowane w dół.

PIC

Ponadto 2 < 212 , więc rzeczywiście parabola y = f (x) przecina prostą y = 2 w dwóch punktach.

Sposób II

Z podanych miejsc zerowych wiemy, że funkcja f ma postać

f(x ) = a(x + 4)(x − 6).

Współczynnik a wyznaczamy z warunku f (1) = 52 .

5 --= a(1+ 4)(1− 6) = − 25a / : (− 25) 2 − 1--= a. 10

Zatem 1 f(x) = − 10(x+ 4)(x − 6) .

Wystarczy teraz udowodnić, że równanie f(x ) = 2 ma dwa rozwiązania.

− -1-(x+ 4)(x − 6) = 2 /⋅ (− 10) 10 x2 − 2x − 24 = − 20 x2 − 2x − 4 = 0 Δ = 4+ 16 = 20 > 0.

Ponieważ Δ > 0 , powyższe równanie rzeczywiście ma dwa rozwiązania.

Wersja PDF