Zadanie nr 8293134
Funkcja kwadratowa , której miejscami zerowymi są liczby
i 6, dla argumentu 1 przyjmuje wartość
. Uzasadnij, że wykres funkcji
ma dwa punkty wspólne z prostą
.
Rozwiązanie
Sposób I
Wykresem funkcji jest parabola. Wierzchołek tej paraboli leży dokładnie w środku między pierwiastkami, więc jego pierwsza współrzędna jest równa
![x = −-4+--6 = 1. w 2](https://img.zadania.info/zad/8293134/HzadR1x.gif)
Druga współrzędna jest więc równa
![f(xw ) = f(1) = 21. 2](https://img.zadania.info/zad/8293134/HzadR2x.gif)
Ponieważ wierzchołek leży powyżej osi i wiemy, że parabola przecina tę oś, więc parabola ta ma ramiona skierowane w dół.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/8293134/HzadR4x.gif)
Ponadto , więc rzeczywiście parabola
przecina prostą
w dwóch punktach.
Sposób II
Z podanych miejsc zerowych wiemy, że funkcja ma postać
![f(x ) = a(x + 4)(x − 6).](https://img.zadania.info/zad/8293134/HzadR9x.gif)
Współczynnik wyznaczamy z warunku
.
![5 --= a(1+ 4)(1− 6) = − 25a / : (− 25) 2 − 1--= a. 10](https://img.zadania.info/zad/8293134/HzadR12x.gif)
Zatem .
Wystarczy teraz udowodnić, że równanie ma dwa rozwiązania.
![− -1-(x+ 4)(x − 6) = 2 /⋅ (− 10) 10 x2 − 2x − 24 = − 20 x2 − 2x − 4 = 0 Δ = 4+ 16 = 20 > 0.](https://img.zadania.info/zad/8293134/HzadR15x.gif)
Ponieważ , powyższe równanie rzeczywiście ma dwa rozwiązania.