Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8716312

Wykres funkcji f , określonej dla x ∈ R następującym wzorem

 2 f(x) = (a− 3 )x − 2ax + 3a − 6

przecina dodatnią półoś Ox w dwóch różnych punktach.

  • Oblicz wartość wyrażenia |(a−-1)(8−a)(a−7)(2a−3)| (a− 1)(8−a)(a−7)(2a−3) .
  • Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych m > n > 0 spełniona jest nierówność  2 2 f(−m ) > f(−n ) .
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Zacznijmy od sprawdzenia kiedy funkcja ma dwa miejsca zerowe. Oczywiście musi być kwadratowa (czyli a ⁄= 3 ) oraz
    0 < Δ = 4a2 − 4(a − 3)(3a − 6) = 4(a 2 − 3a 2 + 15a − 1 8) / : (− 4) 2 0 > 2a − 15a + 18 2 Δ = 225− 144 = 81 = 9 15-−-9- 3- 1-5+--9 a1 = 4 = 2, a2 = 4 = 6 ( 3 ) a ∈ -,6 . 2

    Teraz sprawdzamy kiedy oba pierwiastki są dodatnie (korzystamy ze wzorów Viète’a).

    { 0 < x1 + x2 = -2a- ⇒ a > 3 3(aa−−2)3 0 < x1x2 = -a−3-.

    W pierwszej nierówności skorzystaliśmy z tego, że już wiemy, że musi być a > 0 . Druga nierówność jest zawsze spełniona dla a > 3 (co wynika z pierwszej nierówności).

    Wiemy zatem, że równanie f(x ) = 0 ma dwa dodatnie pierwiastki dla a ∈ (3,6) , co pozwala nam ustalić znak każdego z nawiasów w podanym wyrażeniu. Mamy

    a − 1 > 0 8 − a > 0 a − 7 < 0 2a − 3 > 0 .

    Zatem podane wyrażenie jest równe

    |(a-−-1)(8-−-a)(a-−-7)(2a-−-3)| = −-(a−--1)(8−--a)(a−--7)(2a−--3)-= − 1. (a − 1)(8 − a)(a − 7)(2a − 3) (a− 1)(8− a)(a− 7)(2a− 3)

     
    Odpowiedź: -1

  •  

    Sposób I

    Podaną nierówność należy czytać następująco: funkcja f jest malejąca dla x ∈ (− ∞ ,0⟩ . Aby sprawdzić czy tak jest liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka

     2a a xw = 2(a−--3)-= a−-3-.

    Z poprzedniego podpunktu wiemy, że a ∈ (3,6) więc xw > 0 . Ponadto ramiona paraboli są skierowane do góry, więc istotnie funkcja f jest malejąca na lewo od 0.

    Sposób II

    Zamiast zauważać różne rzeczy, możemy też spróbować to wyliczyć.

     4 2 4 2 (a− 3)m + 2am + 3a − 6 > (a− 3)n + 2an + 3a − 6 (a− 3)m 4 + 2am 2 > (a− 3)n4 + 2an2 4 4 2 2 (a− 3)(m − n )+ 2a (m − n ) > 0.

    Oba składniki są dodatnie, więc nierówność jest spełniona.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!