Zadanie nr 8716312
Wykres funkcji , określonej dla
następującym wzorem

przecina dodatnią półoś w dwóch różnych punktach.
- Oblicz wartość wyrażenia
.
- Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych
spełniona jest nierówność
.
Rozwiązanie
- Zacznijmy od sprawdzenia kiedy funkcja ma dwa miejsca zerowe. Oczywiście musi być kwadratowa (czyli
) oraz
Teraz sprawdzamy kiedy oba pierwiastki są dodatnie (korzystamy ze wzorów Viète’a).
W pierwszej nierówności skorzystaliśmy z tego, że już wiemy, że musi być
. Druga nierówność jest zawsze spełniona dla
(co wynika z pierwszej nierówności).
Wiemy zatem, że równanie
ma dwa dodatnie pierwiastki dla
, co pozwala nam ustalić znak każdego z nawiasów w podanym wyrażeniu. Mamy
Zatem podane wyrażenie jest równe
Odpowiedź: -1 -
Sposób I
Podaną nierówność należy czytać następująco: funkcja
jest malejąca dla
. Aby sprawdzić czy tak jest liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka
Z poprzedniego podpunktu wiemy, że
więc
. Ponadto ramiona paraboli są skierowane do góry, więc istotnie funkcja
jest malejąca na lewo od 0.
Sposób II
Zamiast zauważać różne rzeczy, możemy też spróbować to wyliczyć.
Oba składniki są dodatnie, więc nierówność jest spełniona.