Zadanie nr 8760253
W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
, które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją
w punkcie o współrzędnych
. Niech
będzie punktem leżącym na wykresie
. Wykaż, że odległość punktu
od punktu
wyraża się wzorem
![∘ -------------------------------- 1- 4 3-3 5- 2 45- 1537- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x + 64 ,](https://img.zadania.info/zad/8760253/HzadT14x.gif)
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Rozwiązanie
Jeżeli
![( ( ) 2 ) ( ) R = (x,f (x)) = x, 1 x− 3- − 3 = x, 1-x2 − 3x − 1-5 , 2 2 2 2 8](https://img.zadania.info/zad/8760253/HzadR0x.gif)
to
![∘ --------------(----------------)-- ∘ ----------------------- 1 3 31 2 |PR | = (x − 3)2 + (f(x) − 2)2 = x2 − 6x + 9 + -x 2 − -x − --- = ∘ --------------------------------------------2------2- 8 1 9 961 3 31 93 = x2 − 6x + 9 + --x4 + -x 2 + ----− --x3 − --x 2 + --x = ∘ --------------4------4------64-- 2 8 8 1- 4 3- 3 5- 2 45- 1537- = 4 x − 2x − 8 x + 8 x+ 64 .](https://img.zadania.info/zad/8760253/HzadR1x.gif)
Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
![(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc.](https://img.zadania.info/zad/8760253/HzadR2x.gif)