/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Zadanie nr 8760253

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

PIC

Funkcje f oraz g są określone wzorami ( )2 f(x ) = 12 x− 32 − 3 oraz g (x) = 1 (x− 1)2 + 1 4 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją g w punkcie o współrzędnych P = (3,2) . Niech R będzie punktem leżącym na wykresie f . Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1- 4 3-3 5- 2 45- 1537- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x + 64 ,

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli

( ( ) 2 ) ( ) R = (x,f (x)) = x, 1 x− 3- − 3 = x, 1-x2 − 3x − 1-5 , 2 2 2 2 8

to

∘ --------------(----------------)-- ∘ ----------------------- 1 3 31 2 |PR | = (x − 3)2 + (f(x) − 2)2 = x2 − 6x + 9 + -x 2 − -x − --- = ∘ --------------------------------------------2------2- 8 1 9 961 3 31 93 = x2 − 6x + 9 + --x4 + -x 2 + ----− --x3 − --x 2 + --x = ∘ --------------4------4------64-- 2 8 8 1- 4 3- 3 5- 2 45- 1537- = 4 x − 2x − 8 x + 8 x+ 64 .

Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc.
Wersja PDF