/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Zadanie nr 8872010

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f (x) = −x 2 + 8x − 7 dla dowolnej liczby rzeczywistej x . Parabola będąca wykresem funkcji y = f (x) przecina prostą y = log0,5 384 w punktach A i B . Wykaż, że suma kwadratów pierwszych współrzędnych punktów A i B jest równa 64 + log2 9 .

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez x1 i x2 pierwsze współrzędne punktów A i B , to liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania kwadratowego

− x2 + 8x − 7 = log0,5384 2 0 = x − 8x + 7 + log0,5384 .

Zauważmy jeszcze, że

( ) 7 1-- 7+ lo g0,53 84 = log0,5(0 ,5) + log 0,538 4 = lo g0,5 27 ⋅ 384 = ( ) = log -1--⋅384 = log 3. 0,5 128 0,5

Liczby x 1 i x 2 są więc rozwiązaniami równania

x2 − 8x + log0,53 = 0.

Na mocy wzorów Viète’a mamy

{ x + x = 8 1 2 x1x 2 = lo g0,53 .

Mamy stąd

x2 + x2 = (x 1 + x 2)2 − 2x 1x2 = 64 − 2 log 3 = 1 2 0,5 -log-23- lo-g23- = 64 − 2 ⋅log 0,5 = 64− 2⋅ − 1 = 22 = 64 + log 23 = 64 + log2 9.
Wersja PDF