Zadanie nr 8872010
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem
dla dowolnej liczby rzeczywistej
. Parabola będąca wykresem funkcji
przecina prostą
w punktach
i
. Wykaż, że suma kwadratów pierwszych współrzędnych punktów
i
jest równa
.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy przez i
pierwsze współrzędne punktów
i
, to liczby
i
są rozwiązaniami równania kwadratowego
![− x2 + 8x − 7 = log0,5384 2 0 = x − 8x + 7 + log0,5384 .](https://img.zadania.info/zad/8872010/HzadR6x.png)
Zauważmy jeszcze, że
![( ) 7 1-- 7+ lo g0,53 84 = log0,5(0 ,5) + log 0,538 4 = lo g0,5 27 ⋅ 384 = ( ) = log -1--⋅384 = log 3. 0,5 128 0,5](https://img.zadania.info/zad/8872010/HzadR7x.png)
Liczby i
są więc rozwiązaniami równania
![x2 − 8x + log0,53 = 0.](https://img.zadania.info/zad/8872010/HzadR10x.png)
Na mocy wzorów Viète’a mamy
![{ x + x = 8 1 2 x1x 2 = lo g0,53 .](https://img.zadania.info/zad/8872010/HzadR11x.png)
Mamy stąd
![x2 + x2 = (x 1 + x 2)2 − 2x 1x2 = 64 − 2 log 3 = 1 2 0,5 -log-23- lo-g23- = 64 − 2 ⋅log 0,5 = 64− 2⋅ − 1 = 22 = 64 + log 23 = 64 + log2 9.](https://img.zadania.info/zad/8872010/HzadR12x.png)